If LCM of "a" and "b" is a and LCM of "b" and "c" is b, then what is the LCM of "c" and "a".
a மற்றும் b ன் மீ. பொ. மடங்கு a எனவும் b மற்றும் c ன் மீ .பொ. மடங்குb எனவும் இருந்தால் c மற்றும் a ன் மீ. பொ .ம என்ன ?
Group 1 - 2019
The problem involves understanding the properties of the Least Common Multiple (LCM). A key property of LCM is that if the LCM of two numbers \(x\) and \(y\) is \(x\), then \(y\) must be a factor of \(x\). We will use this property to establish relationships between \(a\), \(b\), and \(c\) and then find the LCM of \(c\) and \(a\).
A) a. Based on the derived relationships, since \(c\) is a factor of \(a\), the LCM of \(c\) and \(a\) is \(a\).
இந்தக் கணக்கு மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) பண்புகளைப் புரிந்துகொள்வதைப் பற்றியது. LCM இன் ஒரு முக்கியப் பண்பு என்னவென்றால், \(x\) மற்றும் \(y\) ஆகிய இரண்டு எண்களின் LCM \(x\) ஆக இருந்தால், \(y\) ஆனது \(x\) இன் காரணியாக இருக்க வேண்டும். இந்த பண்பைப் பயன்படுத்தி \(a\), \(b\) மற்றும் \(c\) க்கு இடையிலான உறவுகளை நிறுவி, பின்னர் \(c\) மற்றும் \(a\) இன் LCM ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.
A) a. பெறப்பட்ட உறவுகளின் அடிப்படையில், \(c\) ஆனது \(a\) இன் காரணியாக இருப்பதால், \(c\) மற்றும் \(a\) இன் மீ.பொ.ம \(a\) ஆகும்.
Find the LCM of 3(a-1), 2(a-1)2, (a2-1)
3(a-1), 2 (a-1)2, (a2 - 1) -ன் மீச்சிறு பொது மடங்கு காண்க.
Group 4 - 2019
The GCD and LCM of two polynomials are x+1 and x4 - 1 respectively. If one of the polynomials is x2 + 1, find the other one.
இரு பல்லுறுப்புக் கோவைகள் மீ .பொ. வ. மற்றும் மீ. பொ. ம முறையே x+1 மற்றும் x4 - 1 மேலும் ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவை x2 + 1, எனில் மற்றொன்றைக் காண்க
Group 1 - 2019
To find the other polynomial, we use the fundamental relationship between two polynomials, their Greatest Common Divisor (GCD), and their Least Common Multiple (LCM). The product of two polynomials is equal to the product of their GCD and LCM.
For any two polynomials \(P_1\) and \(P_2\), their product is equal to the product of their GCD and LCM:
\[ P_1 \times P_2 = G \times L \]We know that \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Here, \(x^4 - 1\) can be written as \((x^2)^2 - (1)^2\).
\[ x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) \]Correct Option: B) \((x + 1)(x^2 - 1)\)
மற்ற பல்லுறுப்புக் கோவையைக் கண்டறிய, இரண்டு பல்லுறுப்புக் கோவைகள், அவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி (GCD) மற்றும் மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான அடிப்படை உறவைப் பயன்படுத்துகிறோம். இரண்டு பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பெருக்கற்பலன் அவற்றின் GCD மற்றும் LCM இன் பெருக்கற்பலனுக்குச் சமம்.
எந்த இரண்டு பல்லுறுப்புக் கோவைகள் \(P_1\) மற்றும் \(P_2\) க்கும், அவற்றின் பெருக்கற்பலன் அவற்றின் மீ.பொ.வ. மற்றும் மீ.பொ.ம. இன் பெருக்கற்பலனுக்குச் சமம்:
\[ P_1 \times P_2 = G \times L \]\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) என்று நமக்குத் தெரியும். இங்கு, \(x^4 - 1\) என்பதை \((x^2)^2 - (1)^2\) என்று எழுதலாம்.
\[ x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) \]சரியான விடை: B) \((x + 1)(x^2 - 1)\)
Find the LCM of a3b4, ab5 and a2b7
a3 b4, ab5, a2b7ன் மீ.பொ.ம. காண்க.
Group 4 - 2016
To find the Least Common Multiple (LCM) of algebraic terms, we identify all unique variables present in the terms. For each variable, we take the highest power (exponent) that appears in any of the given terms. The product of these variables raised to their highest powers will be the LCM.
Correct Option: B) \(a^3 b^7\)
அடுக்கு எண்களைக் கொண்ட இயற்கணிதக் கோவைகளின் மீச்சிறு பொது மடங்கைக் (LCM) கண்டறிய, கொடுக்கப்பட்ட கோவைகளில் உள்ள அனைத்து தனித்துவமான மாறிகளையும் அடையாளம் காண வேண்டும். ஒவ்வொரு மாறிக்கும், கொடுக்கப்பட்ட கோவைகளில் தோன்றும் மிக உயர்ந்த அடுக்கை (எக்ஸ்போனென்ட்) எடுக்க வேண்டும். இந்த மாறிகளின் மிக உயர்ந்த அடுக்குகளின் பெருக்கமே மீ.பொ.ம. ஆகும்.
சரியான விடை: B) \(a^3 b^7\)
Product of two positive number ,is 34560. The LCM is sixty times of its GCD. Then the difference of LCM and GCD is
இரு மிகை எண்களின் பெருக்கல் பலன் 34560 அதன் மீ.பொ.ம(LCM) ஆனது அதன் மீ.பொ.வ (GSD) ன் 60 மடங்கு எனில் மீ.பொ.ம , மீ.பொ.வ ன் வித்தியாசம்
Group 1 - 2017
This problem involves the relationship between the product of two numbers, their Least Common Multiple (LCM), and their Greatest Common Divisor (GCD). We will use the fundamental property that for any two positive integers, the product of the numbers is equal to the product of their LCM and GCD. We are given the product of the numbers and a relationship between their LCM and GCD. We can set up equations to find the values of LCM and GCD, and then calculate their difference.
For any two positive numbers \(a\) and \(b\):
\[ a \times b = \text{LCM}(a,b) \times \text{GCD}(a,b) \]Let \(\text{LCM} = L\) and \(\text{GCD} = G\).
We have \(L = 60G\).
The product of the numbers is \(34560\).
So, \(L \times G = 34560\).
Substitute \(L = 60G\) into the equation \(L \times G = 34560\):
\[ (60G) \times G = 34560 \] \[ 60G^2 = 34560 \] \[ G^2 = \frac{34560}{60} \] \[ G^2 = 576 \]Take the square root of both sides:
\[ G = \sqrt{576} \] \[ G = 24 \]So, the GCD is 24.
Using the relation \(L = 60G\):
\[ L = 60 \times 24 \] \[ L = 1440 \]So, the LCM is 1440.
Difference \(= L - G\)
\[ \text{Difference} = 1440 - 24 \] \[ \text{Difference} = 1416 \]Correct Option: A) 1416
இந்தக் கணக்கு இரண்டு எண்களின் பெருக்கல் பலன், அவற்றின் மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) மற்றும் மீப்பெரு பொது வகுத்தி (GCD) ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான தொடர்பைப் பற்றியது. எந்த இரண்டு மிகை முழு எண்களுக்கும், அந்த எண்களின் பெருக்கல் பலன் அவற்றின் LCM மற்றும் GCD இன் பெருக்கல் பலனுக்குச் சமம் என்ற அடிப்படைப் பண்பைப் பயன்படுத்துவோம். எண்களின் பெருக்கல் பலன் மற்றும் LCM மற்றும் GCD க்கு இடையேயான உறவு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. LCM மற்றும் GCD இன் மதிப்புகளைக் கண்டறிய சமன்பாடுகளை அமைத்து, பின்னர் அவற்றின் வித்தியாசத்தைக் கணக்கிடலாம்.
எந்த இரண்டு மிகை எண்கள் \(a\) மற்றும் \(b\) க்கும்:
\[ a \times b = \text{LCM}(a,b) \times \text{GCD}(a,b) \]மீ.பொ.ம \(= L\) மற்றும் மீ.பொ.வ \(= G\) என்க.
நமக்கு \(L = 60G\) என்று தெரியும்.
எண்களின் பெருக்கல் பலன் \(34560\).
எனவே, \(L \times G = 34560\).
\(L = 60G\) என்பதை \(L \times G = 34560\) என்ற சமன்பாட்டில் பிரதியிடவும்:
\[ (60G) \times G = 34560 \] \[ 60G^2 = 34560 \] \[ G^2 = \frac{34560}{60} \] \[ G^2 = 576 \]இருபுறமும் வர்க்கமூலம் எடுக்க:
\[ G = \sqrt{576} \] \[ G = 24 \]ஆகவே, மீ.பொ.வ 24 ஆகும்.
\(L = 60G\) என்ற உறவைப் பயன்படுத்தி:
\[ L = 60 \times 24 \] \[ L = 1440 \]ஆகவே, மீ.பொ.ம 1440 ஆகும்.
வித்தியாசம் \(= L - G\)
\[ \text{Difference} = 1440 - 24 \] \[ \text{Difference} = 1416 \]சரியான விடை: A) 1416
The product of two numbers is 1600 and their H.C.F. is 5, the L.C.M. of the number is
இரு எண்களின் பெருக்கல் தொகை 1600 மற்றும் அவைகளின் மீ.பொ.வ. 5 எனில் எண்களின் மீ.சி.ம.
ஆகும்.
Group 2 - 2018
This problem involves the relationship between the product of two numbers, their Highest Common Factor (H.C.F.), and their Least Common Multiple (L.C.M.). A fundamental property states that for any two positive integers, the product of the numbers is equal to the product of their H.C.F. and L.C.M.
Correct Option: A) 320
இந்தக் கணக்கு இரண்டு எண்களின் பெருக்கல் தொகை, அவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி (மீ.பொ.வ.) மற்றும் அவற்றின் மீச்சிறு பொது மடங்கு (மீ.சி.ம.) ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான தொடர்பைப் பற்றியது. ஒரு அடிப்படைப் பண்பு என்னவென்றால், எந்த இரண்டு நேர்மறை முழு எண்களுக்கும், அந்த எண்களின் பெருக்கல் தொகை அவற்றின் மீ.பொ.வ. மற்றும் மீ.சி.ம. ஆகியவற்றின் பெருக்கல் தொகைக்கு சமம்.
சரியான விடை: A) 320