The H.C.F. of x3 + 1 and x4 - 1 is
x3 + 1 மற்றும் x4 - 1 ஆகியனவற்றின் மீ.பொ.வ.
VAO - 2016
To find the Highest Common Factor (H.C.F.) of two algebraic expressions, we need to factorize each expression completely into its prime factors. The H.C.F. will be the product of all common prime factors raised to the lowest power they appear in either factorization.
This is in the form of a sum of cubes, \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\).
Here, \(a = x\) and \(b = 1\).
So, \(x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2)\)
\[ x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1) \]
This can be treated as a difference of squares, \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
Here, \(a = x^2\) and \(b = 1\).
So, \((x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)\)
\[ x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) \]
Now, we can further factorize \((x^2 - 1)\) as another difference of squares, \((x-1)(x+1)\).
So, \[ x^4 - 1 = (x-1)(x+1)(x^2 + 1) \]
The factors of \(x^3 + 1\) are \((x+1)\) and \((x^2 - x + 1)\).
The factors of \(x^4 - 1\) are \((x-1)\), \((x+1)\), and \((x^2 + 1)\).
The common factor between both expressions is \((x+1)\).
The H.C.F. is the product of the common factors. In this case, it is just \((x+1)\).
Correct Option: C) x+1
இரண்டு இயற்கணித கோவைகளின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியைக் (H.C.F.) கண்டறிய, ஒவ்வொரு கோவையையும் அதன் பகா காரணிகளாக முழுமையாகப் பிரிக்க வேண்டும். மீ.பொ.வ. என்பது பொதுவான பகா காரணிகளின் பெருக்கற்பலன் ஆகும், அவை ஒவ்வொரு காரணியாக்கத்திலும் தோன்றும் மிகக் குறைந்த அடுக்கிற்கு உயர்த்தப்பட வேண்டும்.
இது கனங்களின் கூட்டுத்தொகை வடிவில் உள்ளது, \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\).
இங்கு, \(a = x\) மற்றும் \(b = 1\).
எனவே, \(x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2)\)
\[ x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1) \]
இதை வர்க்கங்களின் வேறுபாடாகக் கருதலாம், \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
இங்கு, \(a = x^2\) மற்றும் \(b = 1\).
எனவே, \((x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)\)
\[ x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) \]
இப்போது, \((x^2 - 1)\) ஐ மற்றொரு வர்க்கங்களின் வேறுபாடாக, \((x-1)(x+1)\) என மேலும் காரணிப்படுத்தலாம்.
எனவே, \[ x^4 - 1 = (x-1)(x+1)(x^2 + 1) \]
\(x^3 + 1\) இன் காரணிகள் \((x+1)\) மற்றும் \((x^2 - x + 1)\) ஆகும்.
\(x^4 - 1\) இன் காரணிகள் \((x-1)\), \((x+1)\) மற்றும் \((x^2 + 1)\) ஆகும்.
இரண்டு கோவைகளுக்கும் பொதுவான காரணி \((x+1)\) ஆகும்.
மீ.பொ.வ. என்பது பொதுவான காரணிகளின் பெருக்கற்பலன் ஆகும். இந்த விஷயத்தில், அது \((x+1)\) மட்டுமே.
சரியான விடை: C) x+1
The LCM and HCF of two numbers are 45 and 3 respectively, their sum is 24, what is their difference?
இரு எண்களின் மீ.சி.ம மற்றும் மீ.பொ.வ முறையே 45, 3 மற்றும் அவற்றின் கூடுதல் 24 எனில் அவ்விரு
எண்களின் வித்தியாசத்தை காண்க.
VAO - 2016
We are given the LCM, HCF, and sum of two numbers. We need to find their difference. We can use the fundamental relationship between LCM, HCF, and the product of two numbers, along with algebraic identities, to solve this problem.
Let the two numbers be \(a\) and \(b\).
We are given:
The fundamental property relating LCM, HCF, and the two numbers is:
\[ \text{Product of two numbers} = \text{LCM} \times \text{HCF} \]\[ a \times b = 45 \times 3 \]\[ a \times b = 135 \]We need to find the difference, \(a - b\). We know the algebraic identity:
\[ (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab \]Substitute the known values of \(a + b\) and \(ab\) into the identity:
\[ (a - b)^2 = (24)^2 - 4(135) \]\[ (a - b)^2 = 576 - 540 \]\[ (a - b)^2 = 36 \]Take the square root of both sides to find \(a - b\):
\[ a - b = \sqrt{36} \]\[ a - b = 6 \]Correct Option: C) 6
இரு எண்களின் மீ.சி.ம, மீ.பொ.வ மற்றும் கூடுதல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அவற்றின் வித்தியாசத்தைக் கண்டறிய வேண்டும். மீ.சி.ம, மீ.பொ.வ மற்றும் இரு எண்களின் பெருக்கற்பலன் ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான அடிப்படை உறவையும், இயற்கணித முற்றொருமைகளையும் பயன்படுத்தி இந்த சிக்கலைத் தீர்க்கலாம்.
அந்த இரு எண்கள் \(a\) மற்றும் \(b\) ஆக இருக்கட்டும்.
கொடுக்கப்பட்டவை:
மீ.சி.ம, மீ.பொ.வ மற்றும் இரு எண்களை இணைக்கும் அடிப்படைப் பண்பு:
\[ \text{இரு எண்களின் பெருக்கற்பலன்} = \text{மீ.சி.ம} \times \text{மீ.பொ.வ} \]\[ a \times b = 45 \times 3 \]\[ a \times b = 135 \]நாம் வித்தியாசம், \(a - b\) ஐக் கண்டறிய வேண்டும். நமக்குத் தெரிந்த இயற்கணித முற்றொருமை:
\[ (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab \]\(a + b\) மற்றும் \(ab\) இன் தெரிந்த மதிப்புகளை முற்றொருமையில் பிரதியிடவும்:
\[ (a - b)^2 = (24)^2 - 4(135) \]\[ (a - b)^2 = 576 - 540 \]\[ (a - b)^2 = 36 \]\(a - b\) ஐக் கண்டறிய இருபுறமும் வர்க்கமூலம் எடுக்கவும்:
\[ a - b = \sqrt{36} \]\[ a - b = 6 \]சரியான விடை: C) 6
The G.C.D. and L.C.M of 90,150,225 is
90, 150, 225 ஆகிய எண்களின் மீ.பொ.வ மற்றும் பீ.பொ.ம.
Group 4 - 2018
To find the G.C.D. (Greatest Common Divisor) and L.C.M. (Least Common Multiple) of a set of numbers, we can use the prime factorization method. First, we find the prime factors of each number. Then, for G.C.D., we take the product of the common prime factors raised to the lowest power. For L.C.M., we take the product of all prime factors (common and uncommon) raised to the highest power.
The G.C.D. is the product of the common prime factors, each raised to the lowest power it appears in any of the factorizations.
The L.C.M. is the product of all prime factors (common and uncommon), each raised to the highest power it appears in any of the factorizations.
The G.C.D. is 15 and the L.C.M. is 450.
Correct Option: A) 15, 450
ஒரு குறிப்பிட்ட எண்களின் மீ.பொ.வ (மீப்பெரு பொது வகுத்தி) மற்றும் மீ.பொ.ம (மீச்சிறு பொது மடங்கு) ஆகியவற்றைக் கண்டறிய, நாம் பகா காரணிப்படுத்தும் முறையைப் பயன்படுத்தலாம். முதலில், ஒவ்வொரு எண்ணின் பகா காரணிகளைக் கண்டறிய வேண்டும். பின்னர், மீ.பொ.வ-க்கு, பொதுவான பகா காரணிகளின் மிகக் குறைந்த அடுக்கின் பெருக்கற்பலனை எடுக்க வேண்டும். மீ.பொ.ம-க்கு, அனைத்து பகா காரணிகளின் (பொதுவான மற்றும் பொதுவற்ற) மிக உயர்ந்த அடுக்கின் பெருக்கற்பலனை எடுக்க வேண்டும்.
மீ.பொ.வ என்பது பொதுவான பகா காரணிகளின் பெருக்கற்பலன் ஆகும், ஒவ்வொரு காரணியும் அதன் மிகக் குறைந்த அடுக்கில் எடுக்கப்பட வேண்டும்.
மீ.பொ.ம என்பது அனைத்து பகா காரணிகளின் (பொதுவான மற்றும் பொதுவற்ற) பெருக்கற்பலன் ஆகும், ஒவ்வொரு காரணியும் அதன் மிக உயர்ந்த அடுக்கில் எடுக்கப்பட வேண்டும்.
மீ.பொ.வ 15 மற்றும் மீ.பொ.ம 450 ஆகும்.
சரியான விடை: A) 15, 450
Find the correct relationship between G.C.D and L.C.M.
I. G.C.D. = L.C.M.
II. G.C.D. ≤ L.C.M.
III. L.C.M. ≤ G.C.D.
IV. L.C.M. > G.C.D.
இரு வெவ்வேறு எண்களின் (G.C.D), மற்றும் L.C.M.) சரியான தொடர்பு
I. மீப்பெரு பொ.வ. = மீச்சிறு பொ.ம
II. மீப்பெரு பொ.வ.≤ மீச்சிறு பொ.ம
III. மீச்சிறு பொ.ம ≤ மீப்பெரு பொ.வ.
IV. மீச்சிற.பொ.ம > மீப்பெரு பொ.வ.
Group 4 - 2018
The question asks for the correct relationship between the Greatest Common Divisor (G.C.D.) and the Least Common Multiple (L.C.M.) of two different numbers. To determine this, we can consider examples of two different numbers and calculate their G.C.D. and L.C.M. Then, we can compare the values to find the correct inequality.
D) IV. L.C.M. > G.C.D. For any two different positive integers, the L.C.M. will always be strictly greater than the G.C.D.
Three numbers are in the ratio 3:4:5 and their LCM is 240. Then the HCF of these number is
3:4:5 என்ற விகிதத்தில் உள்ள மூன்று எண்களின் மீ.பொ.ம (மீச்சிறு பொது மடங்கு )240 எனில் இவற்றின் மீ.பொ.க. (மீப்பெரு பொது காரணி )என்ன ?
Group 1 - 2014
The problem provides the ratio of three numbers and their Least Common Multiple (LCM). We need to find their Highest Common Factor (HCF). We can represent the numbers using a common factor, which will be their HCF. Then, we can use the relationship between the numbers, their HCF, and their LCM to solve for the HCF.
Correct Option: A) 4
மூன்று எண்களின் விகிதம் மற்றும் அவற்றின் மீச்சிறு பொது மடங்கு (மீ.பொ.ம) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. நாம் அவற்றின் மீப்பெரு பொது காரணி (மீ.பொ.க) கண்டுபிடிக்க வேண்டும். எண்களை அவற்றின் மீ.பொ.க ஐ ஒரு பொதுவான காரணியாகக் கொண்டு குறிப்பிடலாம். பின்னர், எண்கள், அவற்றின் மீ.பொ.க மற்றும் மீ.பொ.ம ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான தொடர்பைப் பயன்படுத்தி மீ.பொ.க ஐக் கண்டறியலாம்.
சரியான விடை: A) 4
Three numbers are in the ratio 3:4:5 and their L.C.M is 2400. Their H.C.F is
மூன்று எண்களின் விகிதம் 3:4:5 அவ்வெண்களின் மீ.சி.ம. 2400 எனில் அவ்வெண்களின் மீ.பொ.வ.
Group 4 - 2014
To find the H.C.F. of numbers given their ratio and L.C.M., we first represent the numbers using a common factor, which will be their H.C.F. Then, we use the property that for numbers \(a, b, c\), if their H.C.F. is \(H\), and \(a = Hx\), \(b = Hy\), \(c = Hz\), where \(x, y, z\) are coprime, then their L.C.M. is \(H \times x \times y \times z\).
Let the three numbers be \(3x\), \(4x\), and \(5x\), where \(x\) is their H.C.F. (since 3, 4, and 5 are coprime to each other).
The L.C.M. of \(3x\), \(4x\), and \(5x\) is found by taking the L.C.M. of the numerical parts (3, 4, 5) and multiplying by the common factor \(x\).
L.C.M. of (3, 4, 5) is \(3 \times 4 \times 5 = 60\) (since 3, 4, and 5 are pairwise coprime).
So, the L.C.M. of the three numbers \(3x, 4x, 5x\) is \(60x\).
We are given that the L.C.M. of the numbers is 2400.
\[ 60x = 2400 \]Divide both sides by 60:
\[ x = \frac{2400}{60} \] \[ x = 40 \]Since we defined \(x\) as the H.C.F. of the numbers, the H.C.F. is 40.
Correct Option: A) 40
எண்களின் விகிதம் மற்றும் மீ.சி.ம. கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றின் மீ.பொ.வ.வைக் கண்டறிய, முதலில் எண்களை ஒரு பொதுவான காரணியைப் பயன்படுத்திப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம். இந்த பொதுவான காரணி அவற்றின் மீ.பொ.வ. ஆக இருக்கும். பின்னர், \(a, b, c\) என்ற எண்களுக்கு, அவற்றின் மீ.பொ.வ. \(H\) ஆகவும், \(a = Hx\), \(b = Hy\), \(c = Hz\) ஆகவும் இருந்தால் (இங்கு \(x, y, z\) ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்கள்), அவற்றின் மீ.சி.ம. \(H \times x \times y \times z\) என்ற பண்பைப் பயன்படுத்துவோம்.
மூன்று எண்கள் \(3x\), \(4x\), மற்றும் \(5x\) ஆக இருக்கட்டும், இங்கு \(x\) என்பது அவற்றின் மீ.பொ.வ. ஆகும் (ஏனெனில் 3, 4, மற்றும் 5 ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்கள்).
\(3x\), \(4x\), மற்றும் \(5x\) இன் மீ.சி.ம. ஆனது எண் பாகங்களின் (3, 4, 5) மீ.சி.ம. ஐக் கண்டறிந்து, அதை பொதுவான காரணி \(x\) ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.
(3, 4, 5) இன் மீ.சி.ம. \(3 \times 4 \times 5 = 60\) ஆகும் (ஏனெனில் 3, 4, மற்றும் 5 ஆகியவை ஜோடியாக பகா எண்கள்).
எனவே, மூன்று எண்கள் \(3x, 4x, 5x\) இன் மீ.சி.ம. \(60x\) ஆகும்.
எண்களின் மீ.சி.ம. 2400 என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\[ 60x = 2400 \]இருபுறமும் 60 ஆல் வகுக்கவும்:
\[ x = \frac{2400}{60} \] \[ x = 40 \]\(x\) ஐ எண்களின் மீ.பொ.வ. என நாம் வரையறுத்ததால், மீ.பொ.வ. 40 ஆகும்.
சரியான விடை: A) 40