Which of the following set of measurements will form a right angle triangle?
கீழே கொடுக்கப்பட்ட அளவுகளில் எவை செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும் ?
Group 4 - 2016
6, 9, 12
5, 8, 10
5, 5, 5\(\sqrt{2}\)
3, 1, 4\(\sqrt{2}\)
To determine if a given set of three measurements can form a right-angled triangle, we use the Pythagorean theorem. The Pythagorean theorem states that in a right-angled triangle, the square of the length of the hypotenuse (the side opposite the right angle) is equal to the sum of the squares of the lengths of the other two sides (legs). If the sides are \(a\), \(b\), and \(c\), where \(c\) is the longest side, then for a right-angled triangle, the relationship \(a^2 + b^2 = c^2\) must hold true.
Here, the longest side is 12. Let \(a=6\), \(b=9\), \(c=12\).
\[ a^2 + b^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117 \] \[ c^2 = 12^2 = 144 \]Since \(117 \neq 144\), this set of measurements does not form a right-angled triangle.
Here, the longest side is 10. Let \(a=5\), \(b=8\), \(c=10\).
\[ a^2 + b^2 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89 \] \[ c^2 = 10^2 = 100 \]Since \(89 \neq 100\), this set of measurements does not form a right-angled triangle.
Here, the longest side is \(5\sqrt{2}\). Let \(a=5\), \(b=5\), \(c=5\sqrt{2}\).
\[ a^2 + b^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 \] \[ c^2 = (5\sqrt{2})^2 = 5^2 \times (\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50 \]Since \(50 = 50\), this set of measurements forms a right-angled triangle. This is an isosceles right-angled triangle.
First, let's compare the lengths to identify the longest side. \(3^2 = 9\), \(1^2 = 1\), \((4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32\). So, \(4\sqrt{2}\) is the longest side.
Let \(a=1\), \(b=3\), \(c=4\sqrt{2}\).
\[ a^2 + b^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \] \[ c^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32 \]Since \(10 \neq 32\), this set of measurements does not form a right-angled triangle.
Correct Option: C) 5, 5, \(5\sqrt{2}\)
கொடுக்கப்பட்ட மூன்று அளவுகள் செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குமா என்பதைக் கண்டறிய, பித்தகோரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். பித்தகோரஸ் தேற்றம் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், கர்ணத்தின் (செங்கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள பக்கம்) வர்க்கம் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் (கால்கள்) வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்கு சமம் என்று கூறுகிறது. பக்கங்கள் \(a\), \(b\), மற்றும் \(c\) ஆக இருந்தால், இங்கு \(c\) என்பது மிக நீளமான பக்கம், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்திற்கு \(a^2 + b^2 = c^2\) என்ற உறவு உண்மையாக இருக்க வேண்டும்.
இங்கு, மிக நீளமான பக்கம் 12 ஆகும். \(a=6\), \(b=9\), \(c=12\) என கொள்வோம்.
\[ a^2 + b^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117 \] \[ c^2 = 12^2 = 144 \]\(117 \neq 144\) என்பதால், இந்த அளவுகள் செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்காது.
இங்கு, மிக நீளமான பக்கம் 10 ஆகும். \(a=5\), \(b=8\), \(c=10\) என கொள்வோம்.
\[ a^2 + b^2 = 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89 \] \[ c^2 = 10^2 = 100 \]\(89 \neq 100\) என்பதால், இந்த அளவுகள் செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்காது.
இங்கு, மிக நீளமான பக்கம் \(5\sqrt{2}\) ஆகும். \(a=5\), \(b=5\), \(c=5\sqrt{2}\) என கொள்வோம்.
\[ a^2 + b^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50 \] \[ c^2 = (5\sqrt{2})^2 = 5^2 \times (\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50 \]\(50 = 50\) என்பதால், இந்த அளவுகள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குகின்றன. இது ஒரு இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணம் ஆகும்.
முதலில், மிக நீளமான பக்கத்தை அடையாளம் காண நீளங்களை ஒப்பிடுவோம். \(3^2 = 9\), \(1^2 = 1\), \((4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32\). எனவே, \(4\sqrt{2}\) என்பது மிக நீளமான பக்கம்.
\(a=1\), \(b=3\), \(c=4\sqrt{2}\) என கொள்வோம்.
\[ a^2 + b^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \] \[ c^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32 \]\(10 \neq 32\) என்பதால், இந்த அளவுகள் செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்காது.
சரியான விடை: C) 5, 5, \(5\sqrt{2}\)
Three angles of a triangle are x- 30°, x- 45°, x + 15°, find the value of x.
ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்கள் x - 30°, x - 45°, x + 15° எனில் x-ன் மதிப்பு
Group 4 - 2016
The problem asks us to find the value of \(x\) given the three angles of a triangle in terms of \(x\). The fundamental property of a triangle is that the sum of its interior angles is always \(180^\circ\). We will set up an equation by summing the given angles and equating it to \(180^\circ\), then solve for \(x\).
Identify the given angles of the triangle:
Recall the property that the sum of the interior angles of a triangle is \(180^\circ\).
Formulate the equation by summing the angles and equating to \(180^\circ\):
\[ (x - 30^\circ) + (x - 45^\circ) + (x + 15^\circ) = 180^\circ \]Combine like terms (all \(x\) terms and all constant terms):
\[ x + x + x - 30^\circ - 45^\circ + 15^\circ = 180^\circ \]Simplify the equation:
\[ 3x - (30^\circ + 45^\circ) + 15^\circ = 180^\circ \] \[ 3x - 75^\circ + 15^\circ = 180^\circ \] \[ 3x - 60^\circ = 180^\circ \]Isolate the term with \(x\) by adding \(60^\circ\) to both sides of the equation:
\[ 3x = 180^\circ + 60^\circ \] \[ 3x = 240^\circ \]Solve for \(x\) by dividing both sides by 3:
\[ x = \frac{240^\circ}{3} \] \[ x = 80^\circ \]Verify the angles using the calculated value of \(x = 80^\circ\):
Check if the sum of these angles is \(180^\circ\):
\[ 50^\circ + 35^\circ + 95^\circ = 85^\circ + 95^\circ = 180^\circ \]The sum is \(180^\circ\), which confirms our value of \(x\) is correct.
Correct Option: C) 80°
ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்கள் \(x\) ஐப் பொறுத்து கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று உட்கோணங்களின் கூடுதல் எப்போதும் \(180^\circ\) ஆகும் என்ற அடிப்படைப் பண்பைப் பயன்படுத்தி, கொடுக்கப்பட்ட கோணங்களைச் சேர்த்து \(180^\circ\) க்கு சமன் செய்து, \(x\) இன் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும்.
முக்கோணத்தின் கொடுக்கப்பட்ட கோணங்களை அடையாளம் காணவும்:
ஒரு முக்கோணத்தின் உட்கோணங்களின் கூடுதல் \(180^\circ\) என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.
கோணங்களைச் சேர்த்து \(180^\circ\) க்கு சமன் செய்வதன் மூலம் சமன்பாட்டை உருவாக்கவும்:
\[ (x - 30^\circ) + (x - 45^\circ) + (x + 15^\circ) = 180^\circ \]ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளை (அனைத்து \(x\) உறுப்புகள் மற்றும் அனைத்து மாறிலி உறுப்புகள்) ஒன்றிணைக்கவும்:
\[ x + x + x - 30^\circ - 45^\circ + 15^\circ = 180^\circ \]சமன்பாட்டை எளிதாக்கவும்:
\[ 3x - (30^\circ + 45^\circ) + 15^\circ = 180^\circ \] \[ 3x - 75^\circ + 15^\circ = 180^\circ \] \[ 3x - 60^\circ = 180^\circ \]சமன்பாட்டின் இருபுறமும் \(60^\circ\) ஐச் சேர்ப்பதன் மூலம் \(x\) உடன் உள்ள உறுப்பைத் தனிமைப்படுத்தவும்:
\[ 3x = 180^\circ + 60^\circ \] \[ 3x = 240^\circ \]இருபுறமும் 3 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் \(x\) இன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்:
\[ x = \frac{240^\circ}{3} \] \[ x = 80^\circ \]\(x = 80^\circ\) என்ற மதிப்பைப் பயன்படுத்தி கோணங்களைச் சரிபார்க்கவும்:
இந்த கோணங்களின் கூடுதல் \(180^\circ\) ஆக உள்ளதா எனச் சரிபார்க்கவும்:
\[ 50^\circ + 35^\circ + 95^\circ = 85^\circ + 95^\circ = 180^\circ \]கூடுதல் \(180^\circ\) ஆக இருப்பதால், \(x\) இன் மதிப்பு சரியானது என்று உறுதிப்படுத்தப்படுகிறது.
சரியான விடை: C) 80°
Which one of the following cannot be the sides of a triangle?
பின்வருவனவற்றில் எவை முக்கோணத்தின் பக்கங்களாக இருக்க முடியாது ?
Group 1 - 2019
To determine if three given lengths can form the sides of a triangle, we use the Triangle Inequality Theorem. This theorem states that the sum of the lengths of any two sides of a triangle must be greater than the length of the third side. If this condition is not met for even one pair of sides, then a triangle cannot be formed.
D) 1,2,3
மூன்று கொடுக்கப்பட்ட நீளங்கள் ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களாக அமையுமா என்பதைத் தீர்மானிக்க, நாம் முக்கோண சமத்துவ விதியைப் (Triangle Inequality Theorem) பயன்படுத்துவோம். இந்த விதிப்படி, ஒரு முக்கோணத்தின் எந்த இரண்டு பக்கங்களின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகையும் மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும். இந்த நிபந்தனை ஒரு ஜோடி பக்கங்களுக்கு கூட பூர்த்தி செய்யப்படாவிட்டால், ஒரு முக்கோணத்தை உருவாக்க முடியாது.
D) 1,2,3
In a right triangular ground, the sides adjacent to the right angle are 50 m and 80 m. Find the cost of cementing the ground at Rs.5/sq.m
ஒரு விளையாட்டுத்திடல் செங்கோண முக்கோணம் வடிவில் உள்ளது செங்கோணத்தைத் தாங்கும் பக்கங்கள் 50மீ, 80மீ திடலில் சிமெண்ட் பூச சதுர மீட்டருக்கு ரூ.5 வீதம் ஆகும் மொத்த செலவைக் காண்.
Group 1 - 2019
₹ 20,000
ரூ. 20,000
₹ 15,000
ரூ. 15,000
₹ 10,000
ரூ. 10,000
₹ 12,000
ரூ. 12,000
The problem asks us to find the total cost of cementing a right-angled triangular ground. To do this, we first need to calculate the area of the triangular ground. The area of a right-angled triangle is given by half the product of its perpendicular sides. Once the area is found, we multiply it by the cost per square meter to get the total cost.
C) ₹ 10,000 is the correct total cost for cementing the ground.
இந்தக் கணக்கில், செங்கோண முக்கோண வடிவிலான திடலுக்கு சிமெண்ட் பூச ஆகும் மொத்த செலவைக் கண்டறிய வேண்டும். இதைச் செய்ய, முதலில் முக்கோண திடலின் பரப்பளவைக் கணக்கிட வேண்டும். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அதன் செங்குத்து பக்கங்களின் பெருக்கற்பலனில் பாதி ஆகும். பரப்பளவைக் கண்டறிந்ததும், ஒரு சதுர மீட்டருக்கான செலவுடன் பெருக்கி மொத்த செலவைக் கண்டறியலாம்.
C) ₹ 10,000 என்பது திடலுக்கு சிமெண்ட் பூசுவதற்கான சரியான மொத்த செலவு.
Find the percentage increase in the area of a triangle if its each side is doubled.
ஒரு முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கமும் இரு மடங்காக அதிகரிக்கப்பட்டால் , அந்த முக்கோணத்தின் பரப்பளவு எத்தனை சதவீதம் அதிகரித்திருக்கும் ?
Group 1 - 2015
To find the percentage increase in the area of a triangle when its sides are doubled, we can use the concept of similarity. When all sides of a triangle are scaled by a factor, its area is scaled by the square of that factor. Alternatively, we can use Heron's formula for the area of a triangle, or consider a simple case like an equilateral triangle or a right-angled triangle.
C) 300%
ஒரு முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கமும் ஒரு குறிப்பிட்ட காரணியால் (factor) அதிகரிக்கப்படும்போது, அதன் பரப்பளவு அந்த காரணியின் வர்க்கத்தால் (square) அதிகரிக்கும் என்ற கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்கலாம். அல்லது, ஹெரான் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தியும் இதை நிரூபிக்கலாம்.
C) 300%
In the given figure,
படத்தில் ∠B:∠C=2:3 எனில் ∠B காண்க.
Group 4 - 2014
To find the measure of \( \angle B \), we use the given ratio \( \angle B : \angle C = 2:3 \) and the fact that the sum of angles in a triangle is \( 180^\circ \). The exterior angle \( \angle A \) is given as \( 130^\circ \), which equals the sum of the opposite interior angles \( \angle B + \angle C \).
Correct Option: B) 52⁰
\( \angle B \) ஐ கண்டறிய, கொடுக்கப்பட்ட விகிதம் \( \angle B : \angle C = 2:3 \) மற்றும் மூவகத்தில் கோணங்களின் மொத்தம் \( 180^\circ \) என்பதை பயன்படுத்துகிறோம். வெளிப்புற கோணம் \( \angle A = 130^\circ \), இது எதிர் உள்ளக கோணங்களின் மொத்தத்துடன் சமமாகும் \( \angle B + \angle C \).
சரியான விடை: B) 52⁰