The problem asks us to find the value of 'n' given that the sum of the first 'n' natural numbers is 253. We can use the standard formula for the sum of the first 'n' natural numbers and then solve the resulting quadratic equation for 'n'.
Recall the formula for the sum of the first 'n' natural numbers:
\[ S_n = \frac{n(n+1)}{2} \]We are given that the sum \(S_n\) is 253. So, we can set up the equation:
\[ \frac{n(n+1)}{2} = 253 \]Multiply both sides by 2 to eliminate the denominator:
\[ n(n+1) = 253 \times 2 \]\[ n(n+1) = 506 \]Expand the left side of the equation:
\[ n^2 + n = 506 \]Rearrange the equation into a standard quadratic form \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ n^2 + n - 506 = 0 \]Now, we need to solve this quadratic equation for 'n'. We can use factorization or the quadratic formula. For factorization, we look for two numbers whose product is -506 and whose sum is 1. After some trial and error, we find that 23 and -22 satisfy these conditions (\(23 \times -22 = -506\) and \(23 + (-22) = 1\)).
\[ n^2 + 23n - 22n - 506 = 0 \]\[ n(n+23) - 22(n+23) = 0 \]\[ (n+23)(n-22) = 0 \]This gives two possible values for 'n':
\[ n+23 = 0 \implies n = -23 \]\[ n-22 = 0 \implies n = 22 \]Since 'n' represents the number of natural numbers, it must be a positive integer. Therefore, \(n = 22\) is the valid solution.
Correct Option: A) 22
முதல் 'n' இயல் எண்களின் கூடுதல் 253 என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 'n' இன் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும். முதல் 'n' இயல் எண்களின் கூடுதலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, கிடைக்கும் இருபடிச் சமன்பாட்டை 'n' க்காகத் தீர்க்கலாம்.
முதல் 'n' இயல் எண்களின் கூடுதலுக்கான சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்க:
\[ S_n = \frac{n(n+1)}{2} \]கூடுதல் \(S_n\) 253 என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, சமன்பாட்டை அமைக்கலாம்:
\[ \frac{n(n+1)}{2} = 253 \]பகுதியை நீக்க இருபுறமும் 2 ஆல் பெருக்கவும்:
\[ n(n+1) = 253 \times 2 \]\[ n(n+1) = 506 \]சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை விரிவுபடுத்தவும்:
\[ n^2 + n = 506 \]சமன்பாட்டை ஒரு நிலையான இருபடி வடிவத்திற்கு \(ax^2 + bx + c = 0\) மாற்றவும்:
\[ n^2 + n - 506 = 0 \]இப்போது, 'n' க்கான இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும். காரணிப்படுத்துதல் அல்லது இருபடி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம். காரணிப்படுத்துதலுக்கு, பெருக்கல் -506 ஆகவும், கூடுதல் 1 ஆகவும் உள்ள இரண்டு எண்களைக் கண்டறிய வேண்டும். சில முயற்சிகளுக்குப் பிறகு, 23 மற்றும் -22 இந்த நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்கின்றன (\(23 \times -22 = -506\) மற்றும் \(23 + (-22) = 1\)).
\[ n^2 + 23n - 22n - 506 = 0 \]\[ n(n+23) - 22(n+23) = 0 \]\[ (n+23)(n-22) = 0 \]இது 'n' க்கு இரண்டு சாத்தியமான மதிப்புகளைத் தருகிறது:
\[ n+23 = 0 \implies n = -23 \]\[ n-22 = 0 \implies n = 22 \]'n' என்பது இயல் எண்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பதால், அது ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணாக இருக்க வேண்டும். எனவே, \(n = 22\) என்பது சரியான தீர்வாகும்.
சரியான விடை: A) 22
If fox = cat then xerox may be equal to
fox = cat எனில் xerox என்பது எதனை குறிக்கும்?
This is a coding-decoding question. We need to identify the pattern of letter substitution from the given example "fox = cat" and then apply the same pattern to decode "xerox".
The shifts are inconsistent (3, 14, 4). Let's re-examine the letters and look for a simpler pattern, perhaps based on position in the word or a direct substitution without a fixed shift.
Let's consider a direct letter-to-letter mapping based on their positions:
This implies a direct substitution where 'f' is replaced by 'c', 'o' by 'a', and 'x' by 't'.
We don't have mappings for 'e' and 'r' directly from "fox = cat". This suggests that the problem might be a trick question or a simple direct substitution where letters that appear in the source word ('fox') are substituted, and others might follow a different rule or be left as is, or there's a typo in the question/options.
However, in competitive exams, such questions often imply a direct substitution based on the provided mapping, and if a letter is not in the mapping, it's usually assumed to be unchanged or follow a very simple rule. Given the options, let's assume the mapping is direct and consistent.
Let's re-evaluate the question: "If fox = cat then xerox may be equal to". This implies a direct substitution based on the letters present in "fox" and "cat".
Let's map the letters from "fox" to "cat":
Now, apply these substitutions to "xerox":
So, "xerox" becomes "t?a?t".
Now, let's look at the options:
A) terct
B) tcroa
C) tcrot
D) terat
Comparing "t?a?t" with the options:
The most plausible interpretation for such questions when new letters appear is that they remain unchanged unless a specific rule is given for them. Therefore, 'e' remains 'e' and 'r' remains 'r'.
Applying this rule:
Thus, "xerox" becomes "terat".
D) terat is the correct answer because applying the direct substitution from "fox = cat" (f → c, o → a, x → t) and assuming that letters not present in "fox" (like 'e' and 'r') remain unchanged, results in "terat".
இது ஒரு குறியீட்டு-குறியீட்டை நீக்கும் கேள்வி. "fox = cat" என்ற கொடுக்கப்பட்ட உதாரணத்திலிருந்து எழுத்து மாற்றத்தின் வடிவத்தை நாம் கண்டறிந்து, அதே வடிவத்தை "xerox" என்ற வார்த்தைக்குப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
இது ஒரு நேரடி எழுத்து மாற்று முறையாகும், இதில் 'f' ஆனது 'c' ஆகவும், 'o' ஆனது 'a' ஆகவும், 'x' ஆனது 't' ஆகவும் மாற்றப்படுகிறது.
"fox = cat" இலிருந்து 'e' மற்றும் 'r' க்கான நேரடி குறியீடு இல்லை. இத்தகைய கேள்விகளில், புதிய எழுத்துக்கள் தோன்றும்போது, அவற்றுக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட விதி கொடுக்கப்படாவிட்டால், அவை மாறாமல் இருக்கும் என்று பொதுவாகக் கருதப்படுகிறது.
இந்த விதியைப் பயன்படுத்துவோம்:
ஆகவே, "xerox" என்பது "terat" ஆக மாறுகிறது.
D) terat என்பது சரியான விடை, ஏனெனில் "fox = cat" இலிருந்து நேரடி மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தும்போது (f → c, o → a, x → t) மற்றும் "fox" இல் இல்லாத எழுத்துக்கள் ('e' மற்றும் 'r' போன்றவை) மாறாமல் இருக்கும் என்று கருதுகையில், "terat" என்ற விடை கிடைக்கிறது.
Three dice thrown at once. Find the probability of getting same numbers in all dice
மூன்று பகடைகள் ஒன்றாக உருட்டப்படும்போது அனைத்து பகடையிலும் ஒரே எண் கிடைக்க நிகழ்தகவு என்ன?
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{216}\)
\(\frac{1}{36}\)
\(\frac{1}{2}\)
To find the probability of getting the same numbers on all three dice, we first need to determine the total number of possible outcomes when three dice are thrown. Then, we identify the number of favorable outcomes where all three dice show the same number. Finally, the probability is calculated by dividing the number of favorable outcomes by the total number of possible outcomes.
C) \(\frac{1}{36}\) is the correct probability of getting the same numbers on all three dice.
மூன்று பகடைகளை உருட்டும்போது அனைத்து பகடைகளிலும் ஒரே எண் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டறிய, முதலில் மூன்று பகடைகளை உருட்டும்போது கிடைக்கும் மொத்த சாத்தியமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கையை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும். பின்னர், மூன்று பகடைகளிலும் ஒரே எண் கிடைக்கும் சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கையை அடையாளம் காண வேண்டும். இறுதியாக, நிகழ்தகவு என்பது சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கையை மொத்த சாத்தியமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கையால் வகுப்பதன் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது.
C) \(\frac{1}{36}\) என்பது மூன்று பகடைகளிலும் ஒரே எண் கிடைப்பதற்கான சரியான நிகழ்தகவு ஆகும்.
The curved surface area of a right circular cylinder of height 7 cm is 66 cm2. Find the diameter of the cylinder.
66 ச.செ.மீ வளைபரப்புடைய ஒரு நேர்வட்ட உருளையின் உயரம் 7 செ.மீ எனில், உருளையின் விட்டம் காண்க.
2 cm
2. செ.மீ
4 cm
4 செ.மீ
6 cm
6 செ.மீ
3cm
3 செ.மீ
To find the diameter of the cylinder, we will use the formula for the curved surface area (CSA) of a right circular cylinder. The formula is \( \text{CSA} = 2 \pi r h \), where \(r\) is the radius and \(h\) is the height. We are given the CSA and the height, so we can solve for the radius, and then calculate the diameter (which is twice the radius).
The 7 in the numerator and the 7 in the denominator cancel out:
\[ 66 = 2 \times 22 \times r \] \[ 66 = 44 r \]Divide both numerator and denominator by 22:
\[ r = \frac{3 \times 22}{2 \times 22} \] \[ r = \frac{3}{2} \text{ cm} \] \[ r = 1.5 \text{ cm} \]The diameter \(d\) is twice the radius \(r\):
\[ d = 2r \] \[ d = 2 \times 1.5 \text{ cm} \] \[ d = 3 \text{ cm} \]Correct Option: D) 3cm
உருளையின் விட்டத்தைக் கண்டறிய, நேர்வட்ட உருளையின் வளைபரப்பு (CSA) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம். சூத்திரம் \( \text{CSA} = 2 \pi r h \), இதில் \(r\) என்பது ஆரம் மற்றும் \(h\) என்பது உயரம். வளைபரப்பு மற்றும் உயரம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதால், நாம் ஆரத்தைக் கண்டறிந்து, பின்னர் விட்டத்தைக் (ஆரத்தின் இரு மடங்கு) கணக்கிடலாம்.
பகுதி மற்றும் தொகுதியில் உள்ள 7 ரத்து செய்யப்படுகிறது:
\[ 66 = 2 \times 22 \times r \] \[ 66 = 44 r \]தொகுதி மற்றும் பகுதியை 22 ஆல் வகுக்கவும்:
\[ r = \frac{3 \times 22}{2 \times 22} \] \[ r = \frac{3}{2} \text{ செ.மீ} \] \[ r = 1.5 \text{ செ.மீ} \]விட்டம் \(d\) என்பது ஆரத்தின் \(r\) இரு மடங்கு:
\[ d = 2r \] \[ d = 2 \times 1.5 \text{ செ.மீ} \] \[ d = 3 \text{ செ.மீ} \]சரியான விடை: D) 3cm
The problem involves calculating the present value of a motorcycle given its value two years ago and the annual rates of depreciation and appreciation. We need to apply the percentage changes year by year to the initial value.
So, the present value of the motorcycle is Rs. 79,872.
D) Rs. 79,872 — This is the correct calculation after applying a 4% depreciation in the first year and a 4% appreciation in the second year.
இந்தக் கணக்கு ஒரு மோட்டார் சைக்கிளின் தற்போதைய மதிப்பைக் கண்டறிவது பற்றியது. இரண்டு ஆண்டுகளுக்கு முந்தைய மதிப்பு மற்றும் ஆண்டுக்கு ஏற்படும் தேய்மானம் மற்றும் மதிப்பு உயர்வு விகிதங்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஒவ்வொரு ஆண்டும் ஏற்படும் சதவீத மாற்றங்களை ஆரம்ப மதிப்பில் இருந்து கணக்கிட வேண்டும்.
எனவே, மோட்டார் சைக்கிளின் தற்போதைய மதிப்பு ரூ. 79,872 ஆகும்.
D) ரூ. 79,872 — இது முதல் ஆண்டில் 4% தேய்மானம் மற்றும் இரண்டாம் ஆண்டில் 4% மதிப்பு உயர்வு ஆகியவற்றைச் சரியாகக் கணக்கிட்ட பிறகு கிடைக்கும் மதிப்பு.
To find out when the four cell phones will ring together again, we need to find the least common multiple (LCM) of their individual ringing intervals. The LCM will give us the minimum time after which all phones will ring simultaneously.
We can use the prime factorization method or the division method.
Using prime factorization:
To find the LCM, we take the highest power of each prime factor present in the numbers:
\[ \text{LCM}(20, 30, 40, 50) = 2^3 \times 3^1 \times 5^2 \] \[ = 8 \times 3 \times 25 \] \[ = 24 \times 25 \] \[ = 600 \]So, the LCM is 600 minutes.
Since there are 60 minutes in an hour, we convert 600 minutes to hours:
\[ \text{Time in hours} = \frac{600 \text{ minutes}}{60 \text{ minutes/hour}} = 10 \text{ hours} \]The phones first rang together at 5 a.m. They will ring together again after 10 hours.
Starting time: 5 a.m.
Add 10 hours: \(5 \text{ a.m.} + 10 \text{ hours} = 3 \text{ p.m.}\)
Correct Option: C) 3 P.M.
நான்கு அலைபேசிகளும் மீண்டும் எப்போது ஒன்றாக ஒலிக்கும் என்பதைக் கண்டறிய, அவற்றின் தனிப்பட்ட ஒலிக்கும் இடைவெளிகளின் மீச்சிறு பொது மடங்கைக் (LCM) கண்டறிய வேண்டும். LCM ஆனது அனைத்து அலைபேசிகளும் ஒரே நேரத்தில் ஒலிக்கும் குறைந்தபட்ச நேரத்தை நமக்குக் கொடுக்கும்.
நாம் பகா காரணிப்படுத்தல் முறை அல்லது வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தலாம்.
பகா காரணிப்படுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி:
LCM ஐக் கண்டறிய, எண்களில் உள்ள ஒவ்வொரு பகா காரணியின் மிக உயர்ந்த அடுக்கை எடுக்கிறோம்:
\[ \text{LCM}(20, 30, 40, 50) = 2^3 \times 3^1 \times 5^2 \] \[ = 8 \times 3 \times 25 \] \[ = 24 \times 25 \] \[ = 600 \]எனவே, LCM 600 நிமிடங்கள் ஆகும்.
ஒரு மணிநேரத்திற்கு 60 நிமிடங்கள் இருப்பதால், 600 நிமிடங்களை மணிநேரங்களாக மாற்றுகிறோம்:
\[ \text{Time in hours} = \frac{600 \text{ minutes}}{60 \text{ minutes/hour}} = 10 \text{ hours} \]அலைபேசிகள் முதலில் காலை 5 மணிக்கு ஒன்றாக ஒலித்தன. அவை மீண்டும் 10 மணிநேரத்திற்குப் பிறகு ஒன்றாக ஒலிக்கும்.
தொடங்கும் நேரம்: காலை 5 மணி
10 மணிநேரம் கூட்டவும்: \(5 \text{ a.m.} + 10 \text{ hours} = 3 \text{ p.m.}\)
சரியான விடை: C) பிற்பகல் 3 மணி
If HCF of x3-8y3 and x2-k2y2 is x + ky then value of k
x3-8y3 மற்றும் x2 - k2y2 ன் மீப்பெரு பொது வகுத்தி x+ ky எனில் k ன் மதிப்பு
The problem states that the HCF (Highest Common Factor) of two polynomials, \(x^3 - 8y^3\) and \(x^2 - k^2y^2\), is \(x + ky\). This means that \(x + ky\) must be a factor of both polynomials. We can use this property to find the value of \(k\).
The first polynomial is \(x^3 - 8y^3\). This is in the form of a difference of cubes, \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).
\[ x^3 - 8y^3 = x^3 - (2y)^3 = (x - 2y)(x^2 + x(2y) + (2y)^2) = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \]Since \(x + ky\) is the HCF, it must be a factor of \(x^3 - 8y^3\). Comparing \(x + ky\) with the factors \((x - 2y)\) and \((x^2 + 2xy + 4y^2)\), we can see that \(x + ky\) must be equal to \(x - 2y\).
Therefore, \(ky = -2y\), which implies \(k = -2\).
Now, let's check if \(x + ky\) is a factor of the second polynomial \(x^2 - k^2y^2\) when \(k = -2\).
Substitute \(k = -2\) into \(x + ky\):
\[ x + (-2)y = x - 2y \]The second polynomial is \(x^2 - k^2y^2\). This is in the form of a difference of squares, \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
Substitute \(k = -2\) into the polynomial:
\[ x^2 - (-2)^2y^2 = x^2 - 4y^2 \]\[ x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2 = (x - 2y)(x + 2y) \]The factors of \(x^3 - 8y^3\) are \((x - 2y)\) and \((x^2 + 2xy + 4y^2)\).
The factors of \(x^2 - 4y^2\) are \((x - 2y)\) and \((x + 2y)\).
The common factor is indeed \((x - 2y)\). So, if \(x + ky = x - 2y\), then \(k = -2\).
C) -2 is the correct value for \(k\).
\(x^3 - 8y^3\) மற்றும் \(x^2 - k^2y^2\) ஆகிய இரண்டு பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி (HCF) \(x + ky\) என்று கேள்வி கூறுகிறது. இதன் பொருள் \(x + ky\) என்பது இரண்டு பல்லுறுப்புக் கோவைகளுக்கும் ஒரு காரணியாக இருக்க வேண்டும். இந்த பண்பைப் பயன்படுத்தி \(k\) இன் மதிப்பைக் கண்டறியலாம்.
முதல் பல்லுறுப்புக் கோவை \(x^3 - 8y^3\). இது \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\) என்ற வடிவத்தில் உள்ளது.
\[ x^3 - 8y^3 = x^3 - (2y)^3 = (x - 2y)(x^2 + x(2y) + (2y)^2) = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \]\(x + ky\) என்பது HCF என்பதால், அது \(x^3 - 8y^3\) இன் ஒரு காரணியாக இருக்க வேண்டும். \(x + ky\) ஐ \((x - 2y)\) மற்றும் \((x^2 + 2xy + 4y^2)\) ஆகிய காரணிகளுடன் ஒப்பிடும்போது, \(x + ky\) என்பது \(x - 2y\) க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நாம் காணலாம்.
எனவே, \(ky = -2y\), இது \(k = -2\) என்பதைக் குறிக்கிறது.
இப்போது, \(k = -2\) ஆக இருக்கும்போது \(x + ky\) என்பது இரண்டாவது பல்லுறுப்புக் கோவை \(x^2 - k^2y^2\) இன் ஒரு காரணியாக உள்ளதா என்று சரிபார்ப்போம்.
\(k = -2\) ஐ \(x + ky\) இல் பிரதியிடவும்:
\[ x + (-2)y = x - 2y \]இரண்டாவது பல்லுறுப்புக் கோவை \(x^2 - k^2y^2\). இது \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) என்ற வடிவத்தில் உள்ளது.
\(k = -2\) ஐ பல்லுறுப்புக் கோவையில் பிரதியிடவும்:
\[ x^2 - (-2)^2y^2 = x^2 - 4y^2 \]\[ x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2 = (x - 2y)(x + 2y) \]\(x^3 - 8y^3\) இன் காரணிகள் \((x - 2y)\) மற்றும் \((x^2 + 2xy + 4y^2)\).
\(x^2 - 4y^2\) இன் காரணிகள் \((x - 2y)\) மற்றும் \((x + 2y)\).
பொதுவான காரணி உண்மையில் \((x - 2y)\) ஆகும். எனவே, \(x + ky = x - 2y\) என்றால், \(k = -2\).
C) -2 என்பது \(k\) இன் சரியான மதிப்பு.
The problem asks us to find the time in months for a principal amount to double at a given simple interest rate. We will use the simple interest formula to find the time in years and then convert it to months.
The principal needs to double. So, the Amount (A) will be \(2 \times \text{Principal} = 2 \times 2000 = \text{Rs. } 4,000\).
Simple Interest is the difference between the Amount and the Principal.
\[ \text{SI} = \text{Amount} - \text{Principal} \]\[ \text{SI} = 4000 - 2000 = \text{Rs. } 2,000 \]The formula for Simple Interest is:
\[ \text{SI} = \frac{\text{P} \times \text{R} \times \text{T}}{100} \]where T is the time in years.Rearrange the formula to solve for T:
\[ \text{T} = \frac{\text{SI} \times 100}{\text{P} \times \text{R}} \]Since 1 year = 12 months, multiply the time in years by 12.
\[ \text{Time in months} = 12.5 \times 12 \]\[ \text{Time in months} = 150 \text{ months} \]B) 150 months is the correct answer.
ஒரு குறிப்பிட்ட அசல் தொகைக்கு, ஒரு குறிப்பிட்ட எளிய வட்டி விகிதத்தில், அசல் இரட்டிப்பாக எவ்வளவு காலம் (மாதங்களில்) ஆகும் என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும். எளிய வட்டி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முதலில் ஆண்டுகளிலும், பின்னர் அதை மாதங்களாகவும் மாற்றுவோம்.
அசல் இரட்டிப்பாக வேண்டும். எனவே, மொத்தத் தொகை (A) என்பது \(2 \times \text{அசல்} = 2 \times 2000 = \text{ரூ. } 4,000\).
எளிய வட்டி என்பது மொத்தத் தொகைக்கும் அசலுக்கும் உள்ள வேறுபாடு.
\[ \text{SI} = \text{Amount} - \text{Principal} \]\[ \text{SI} = 4000 - 2000 = \text{ரூ. } 2,000 \]எளிய வட்டி சூத்திரம்:
\[ \text{SI} = \frac{\text{P} \times \text{R} \times \text{T}}{100} \]இங்கு T என்பது ஆண்டுகளின் எண்ணிக்கை.T-ஐக் கண்டறிய சூத்திரத்தை மாற்றியமைக்கவும்:
\[ \text{T} = \frac{\text{SI} \times 100}{\text{P} \times \text{R}} \]1 ஆண்டு = 12 மாதங்கள் என்பதால், ஆண்டுகளின் எண்ணிக்கையை 12 ஆல் பெருக்கவும்.
\[ \text{Time in months} = 12.5 \times 12 \]\[ \text{Time in months} = 150 \text{ months} \]B) 150 மாதங்கள் என்பது சரியான விடை.
To find the L.C.M. (Least Common Multiple) of decimal numbers, the general approach is to convert all numbers into fractions, make their denominators equal, and then find the L.C.M. of the numerators and the H.C.F. of the denominators. Alternatively, we can convert them into integers by multiplying by a suitable power of 10, find the L.C.M. of these integers, and then divide the result by the same power of 10.
D) 27 is the L.C.M. of 3, 2.7, and 0.09.
தசம எண்களின் மீ.சி.ம. (மீச்சிறு பொது மடங்கு) கண்டறிய, அனைத்து எண்களையும் பின்னங்களாக மாற்றி, அவற்றின் பகுதிகளை சமமாக்கி, பின்னர் தொகுதிகளின் மீ.சி.ம. மற்றும் பகுதிகளின் மீ.பொ.வ. ஆகியவற்றைக் கண்டறியலாம். மாற்றாக, அனைத்து எண்களையும் ஒரு குறிப்பிட்ட 10 இன் அடுக்கால் பெருக்கி முழு எண்களாக மாற்றி, அந்த முழு எண்களின் மீ.சி.ம. கண்டறிந்து, பின்னர் முடிவை அதே 10 இன் அடுக்கால் வகுக்கலாம்.
D) 27 என்பது 3, 2.7 மற்றும் 0.09 இன் மீ.சி.ம. ஆகும்.
Which one of the following lies between \(\sqrt[3]{7}\) and \(\sqrt[4]{5}\)?
கீழ்க்காண்பவற்றில் எது \(\sqrt[3]{7}\) மற்றும் \(\sqrt[4]{5}\) இவற்றிற்கு இடையில் அமையும்?
\(\sqrt{2}\)
\(\sqrt{3}\)
\(\sqrt{4}\)
\(\sqrt{5}\)
To find the number that lies between \(\sqrt[3]{7}\) and \(\sqrt[4]{5}\), we need to approximate the values of these two numbers. Then, we will evaluate the given options and compare them with the range established by \(\sqrt[3]{7}\) and \(\sqrt[4]{5}\).
Approximate \(\sqrt[3]{7}\):
We know that \(1^3 = 1\) and \(2^3 = 8\). Since \(1 < 7 < 8\), we have \(\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{7} < \sqrt[3]{8}\), which means \(1 < \sqrt[3]{7} < 2\). A closer approximation would be around \(1.9\), as \(1.9^3 = 6.859\). So, \(\sqrt[3]{7} \approx 1.9\).
Approximate \(\sqrt[4]{5}\):
We know that \(1^4 = 1\) and \(2^4 = 16\). Since \(1 < 5 < 16\), we have \(\sqrt[4]{1} < \sqrt[4]{5} < \sqrt[4]{16}\), which means \(1 < \sqrt[4]{5} < 2\). A closer approximation would be around \(1.5\), as \(1.5^4 = 5.0625\). So, \(\sqrt[4]{5} \approx 1.5\).
Establish the range:
We have \(\sqrt[4]{5} \approx 1.5\) and \(\sqrt[3]{7} \approx 1.9\). Therefore, we are looking for a number between approximately \(1.5\) and \(1.9\).
Evaluate the options:
Compare options with the range:
Thus, \(\sqrt{3}\) is the number that lies between \(\sqrt[3]{7}\) and \(\sqrt[4]{5}\).
B) \(\sqrt{3}\) is approximately \(1.732\). Since \(\sqrt[4]{5} \approx 1.5\) and \(\sqrt[3]{7} \approx 1.9\), \(\sqrt{3}\) lies between these two values.
\(\sqrt[3]{7}\) மற்றும் \(\sqrt[4]{5}\) ஆகியவற்றுக்கு இடையில் உள்ள எண்ணைக் கண்டறிய, இந்த இரண்டு எண்களின் தோராயமான மதிப்புகளை நாம் கணக்கிட வேண்டும். பின்னர், கொடுக்கப்பட்ட விருப்பங்களை மதிப்பிட்டு, \(\sqrt[3]{7}\) மற்றும் \(\sqrt[4]{5}\) ஆகியவற்றுக்கு இடையில் உள்ள வரம்புடன் ஒப்பிட வேண்டும்.
\(\sqrt[3]{7}\) ஐ தோராயமாக மதிப்பிடுதல்:
நமக்குத் தெரியும் \(1^3 = 1\) மற்றும் \(2^3 = 8\). \(1 < 7 < 8\) என்பதால், \(\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{7} < \sqrt[3]{8}\), அதாவது \(1 < \sqrt[3]{7} < 2\). ஒரு துல்லியமான தோராய மதிப்பு \(1.9\) ஆக இருக்கும், ஏனெனில் \(1.9^3 = 6.859\). எனவே, \(\sqrt[3]{7} \approx 1.9\).
\(\sqrt[4]{5}\) ஐ தோராயமாக மதிப்பிடுதல்:
நமக்குத் தெரியும் \(1^4 = 1\) மற்றும் \(2^4 = 16\). \(1 < 5 < 16\) என்பதால், \(\sqrt[4]{1} < \sqrt[4]{5} < \sqrt[4]{16}\), அதாவது \(1 < \sqrt[4]{5} < 2\). ஒரு துல்லியமான தோராய மதிப்பு \(1.5\) ஆக இருக்கும், ஏனெனில் \(1.5^4 = 5.0625\). எனவே, \(\sqrt[4]{5} \approx 1.5\).
வரம்பை நிறுவுதல்:
நமக்கு \(\sqrt[4]{5} \approx 1.5\) மற்றும் \(\sqrt[3]{7} \approx 1.9\) என்று உள்ளது. எனவே, தோராயமாக \(1.5\) மற்றும் \(1.9\) க்கு இடையில் உள்ள எண்ணை நாம் தேடுகிறோம்.
விருப்பங்களை மதிப்பிடுதல்:
விருப்பங்களை வரம்புடன் ஒப்பிடுதல்:
ஆகவே, \(\sqrt{3}\) என்பது \(\sqrt[3]{7}\) மற்றும் \(\sqrt[4]{5}\) ஆகியவற்றுக்கு இடையில் உள்ள எண்.
B) \(\sqrt{3}\) என்பது தோராயமாக \(1.732\). \(\sqrt[4]{5} \approx 1.5\) மற்றும் \(\sqrt[3]{7} \approx 1.9\) என்பதால், \(\sqrt{3}\) இந்த இரண்டு மதிப்புகளுக்கும் இடையில் உள்ளது.