The problem asks us to find the value of 'n' given that the sum of the first 'n' natural numbers is 253. We can use the standard formula for the sum of the first 'n' natural numbers and then solve the resulting quadratic equation for 'n'.
The sum of the first \(n\) natural numbers, denoted as \(S_n\), is given by the formula:
\[ S_n = \frac{n(n+1)}{2} \]We are given that the sum is 253. So, we can set up the equation:
\[ \frac{n(n+1)}{2} = 253 \]Multiply both sides by 2:
\[ n(n+1) = 253 \times 2 \]\[ n(n+1) = 506 \]We can solve this quadratic equation by factoring or using the quadratic formula. Let's try factoring. We need two numbers whose product is -506 and whose sum is 1.
Consider the factors of 506:
The numbers 23 and -22 have a product of \(23 \times (-22) = -506\) and a sum of \(23 + (-22) = 1\). So, we can factor the quadratic equation as:
\[ (n+23)(n-22) = 0 \]From the factored equation, we get two possible values for \(n\):
\[ n+23 = 0 \implies n = -23 \]\[ n-22 = 0 \implies n = 22 \]Since 'n' represents the number of natural numbers, it must be a positive integer. Therefore, \(n = 22\) is the correct value.
Correct Option: A) 22
முதல் 'n' இயல் எண்களின் கூடுதல் 253 என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 'n' இன் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும். முதல் 'n' இயல் எண்களின் கூடுதலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, கிடைக்கும் இருபடிச் சமன்பாட்டை 'n' க்காக தீர்க்கலாம்.
முதல் \(n\) இயல் எண்களின் கூடுதல், \(S_n\) எனக் குறிக்கப்படுகிறது, இது பின்வரும் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது:
\[ S_n = \frac{n(n+1)}{2} \]கூடுதல் 253 என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, நாம் சமன்பாட்டை அமைக்கலாம்:
\[ \frac{n(n+1)}{2} = 253 \]இருபுறமும் 2 ஆல் பெருக்கவும்:
\[ n(n+1) = 253 \times 2 \]\[ n(n+1) = 506 \]இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டை காரணிப்படுத்துதல் மூலமாகவோ அல்லது இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தியோ தீர்க்கலாம். காரணிப்படுத்துதலை முயற்சிப்போம். பெருக்கல் -506 ஆகவும், கூடுதல் 1 ஆகவும் உள்ள இரண்டு எண்கள் தேவை.
506 இன் காரணிகளைக் கவனியுங்கள்:
23 மற்றும் -22 ஆகிய எண்களின் பெருக்கல் \(23 \times (-22) = -506\) மற்றும் கூடுதல் \(23 + (-22) = 1\). எனவே, இருபடிச் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு காரணிப்படுத்தலாம்:
\[ (n+23)(n-22) = 0 \]காரணிப்படுத்தப்பட்ட சமன்பாட்டிலிருந்து, \(n\) க்கு இரண்டு சாத்தியமான மதிப்புகள் கிடைக்கும்:
\[ n+23 = 0 \implies n = -23 \]\[ n-22 = 0 \implies n = 22 \]'n' என்பது இயல் எண்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பதால், அது ஒரு நேர்மறை முழு எண்ணாக இருக்க வேண்டும். எனவே, \(n = 22\) என்பது சரியான மதிப்பு.
சரியான விடை: A) 22
If fox = cat then xerox may be equal to
fox = cat எனில் xerox என்பது எதனை குறிக்கும்?
This is a coding-decoding question. We need to identify the pattern of letter transformation from "fox" to "cat" and then apply the same pattern to "xerox" to find the corresponding coded word.
This direct positional mapping doesn't seem to reveal a simple arithmetic pattern.
Let's consider the vowels and consonants separately or a more direct mapping based on the given example.
Consider the positions of the letters in the alphabet:
This is a common type of coding where the pattern is not a simple shift, but a specific substitution for each letter.
Now, apply this substitution to the word "xerox".
Since 'E' and 'R' are not in the given mapping, this implies that the coding rule might be based on a fixed shift for all letters, or a more complex rule. Let's re-evaluate the shifts.
Let's consider the possibility that the question implies a direct letter-to-letter substitution where only the letters present in "fox" have a defined mapping. However, we need to decode "xerox", which contains letters not in "fox". This suggests a general rule.
Let's look at the options. All options start with 't' and end with 't'. This implies X → T. This is consistent with the given example (X → T).
Let's re-examine O → A. This is a significant jump. O is a vowel, A is a vowel. F and X are consonants, C and T are consonants.
Consider a pattern of skipping letters. If F → C, we skip E, D (2 letters).
If O → A, we skip N, M, L, K, J, I, H, G, F, E, D, C, B (13 letters). This is not consistent.
If X → T, we skip W, V, U (3 letters).
The most common type of coding in such problems is a consistent shift or a reverse alphabetical order, or a specific pattern for vowels/consonants.
Let's assume a simple positional shift, but perhaps different for each letter's position in the word.
This doesn't seem to be a consistent pattern for the shift values (3, 14, 4).
Let's consider a simpler interpretation: The letters in "fox" are directly mapped to the letters in "cat".
Now, apply this to "xerox".
This means we need to find a pattern for 'E' and 'R'. Since the problem gives a specific example "fox = cat", it's highly likely that the mapping is direct and consistent for all letters that appear. The letters 'E' and 'R' must follow a similar, but perhaps implicit, rule.
Let's re-examine the shifts, but as a consistent shift for all letters.
There is no consistent shift. This implies a direct substitution or a more complex rule.
Let's consider the possibility of a pattern based on the position of the letters in the alphabet relative to each other, or a specific transformation.
What if the pattern is based on the positions of the letters in the word and their alphabetical order?
Let's try a different perspective: What if the given mapping is not a shift, but a specific substitution? And the letters 'E' and 'R' also follow a similar, but not explicitly stated, substitution.
Consider the options. All options start with 't' and end with 't'. This confirms X → T.
The second 'o' in 'xerox' maps to 'a' (from 'fox' → 'cat'). So the word should be t _ _ a t.
Now we need to find the mapping for 'E' and 'R'.
Let's assume a simple, consistent shift for all letters, but the example "fox = cat" is misleading or has a typo. This is unlikely in competitive exams.
Let's assume the mapping is based on a pattern that applies to all letters, even if not explicitly shown for E and R.
Consider the possibility of a reverse alphabetical order for vowels and a forward/backward shift for consonants.
Let's revisit the shifts: F(-3)C, O(-14)A, X(-4)T. This is not a simple consistent shift.
However, if we look at the options, they provide clues.
The structure of "xerox" is CVCVC (Consonant-Vowel-Consonant-Vowel-Consonant).
The structure of "fox" is CVC.
The structure of "cat" is CVC.
Given: F → C, O → A, X → T.
We need to code "xerox".
So, the coded word for "xerox" must start with T, have 'A' as its fourth letter, and end with T. This gives us T _ _ A T.
Let's check the options:
This implies that the letters 'E' and 'R' in "xerox" are mapped to 'E' and 'R' respectively in the coded word, or there is a specific rule for them that results in 'E' and 'R'.
If the mapping is F → C, O → A, X → T, and for other letters, it's a direct copy (E → E, R → R), then:
This results in "TERAT". This is option D.
This type of problem often has a direct substitution for the given letters and a simple rule (like identity mapping or a fixed shift) for other letters. Given the options, the identity mapping for 'E' and 'R' is the most plausible explanation that fits the provided example and leads to one of the options.
D) terat is the correct option. The mapping is F → C, O → A, X → T. For letters not explicitly mapped (E, R), they remain unchanged. Applying this to "xerox": X → T, E → E, R → R, O → A, X → T, resulting in "terat".
இது ஒரு குறியீட்டு-குறியீட்டு நீக்க கேள்வி. "fox" என்பது "cat" ஆக மாற்றப்படும் எழுத்து மாற்றத்தின் வடிவத்தை நாம் கண்டறிந்து, அதே வடிவத்தை "xerox" என்ற வார்த்தைக்குப் பயன்படுத்தி அதற்கான குறியிடப்பட்ட வார்த்தையைக் கண்டறிய வேண்டும்.
இந்த வகையான குறியீட்டு கேள்விகளில், கொடுக்கப்பட்ட வார்த்தையில் உள்ள எழுத்துக்களுக்கு நேரடி மாற்று (substitution) இருக்கும், மற்ற எழுத்துக்களுக்கு ஒரு பொதுவான விதி (எ.கா., மாறாமல் இருப்பது அல்லது ஒரு நிலையான மாற்றம்) இருக்கும்.
இப்போது, "xerox" என்ற வார்த்தைக்கு இந்த குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம்.
எனவே, "xerox" இன் குறியிடப்பட்ட வடிவம் T _ _ A T என்ற வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும்.
இப்போது, "xerox" இல் உள்ள 'E' மற்றும் 'R' எழுத்துக்களுக்கு என்ன குறியீடு என்று பார்க்க வேண்டும். கொடுக்கப்பட்ட "fox = cat" குறியீட்டில் 'E' மற்றும் 'R' இல்லை. எனவே, இந்த எழுத்துக்களுக்கு ஒரு பொதுவான விதி இருக்க வேண்டும். விருப்பங்களைப் பார்க்கும்போது, 'E' மற்றும் 'R' ஆகியவை மாற்றப்படாமல் அதே எழுத்துக்களாகவே உள்ளன ('E' → 'E', 'R' → 'R').
இந்த விதியைப் பயன்படுத்தினால்:
இது "TERAT" என்ற வார்த்தையை உருவாக்குகிறது.
D) terat என்பது சரியான விடை. F → C, O → A, X → T என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, மற்ற எழுத்துக்கள் (E, R) மாறாமல் இருக்கும் என்று கருதினால், "xerox" என்பது "terat" ஆக மாறும்.
Three dice thrown at once. Find the probability of getting same numbers in all dice
மூன்று பகடைகள் ஒன்றாக உருட்டப்படும்போது அனைத்து பகடையிலும் ஒரே எண் கிடைக்க நிகழ்தகவு என்ன?
\(\frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{216}\)
\(\frac{1}{36}\)
\(\frac{1}{2}\)
To find the probability of an event, we need to determine the number of favorable outcomes and divide it by the total number of possible outcomes. When three dice are thrown, we first calculate the total possible outcomes. Then, we identify the outcomes where all three dice show the same number. Finally, we apply the probability formula.
Total number of possible outcomes:
When one die is thrown, there are 6 possible outcomes (1, 2, 3, 4, 5, 6).
When three dice are thrown simultaneously, the total number of possible outcomes is the product of the outcomes for each die.
\[ \text{Total outcomes} = 6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216 \]Favorable outcomes (getting the same number on all dice):
We are looking for outcomes where all three dice show the same number. These are:
There are 6 such favorable outcomes.
Calculate the probability:
The probability of an event is given by the formula:
\[ P(\text{Event}) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}} \]\[ P(\text{same numbers}) = \frac{6}{216} \]Simplify the fraction:
Divide both the numerator and the denominator by their greatest common divisor, which is 6.
\[ P(\text{same numbers}) = \frac{6 \div 6}{216 \div 6} = \frac{1}{36} \]Correct Option: C) \(\frac{1}{36}\)
ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவைக் கண்டறிய, நாம் சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானித்து, அதை சாத்தியமான மொத்த விளைவுகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்க வேண்டும். மூன்று பகடைகள் உருட்டப்படும்போது, முதலில் மொத்த சாத்தியமான விளைவுகளைக் கணக்கிடுவோம். பின்னர், மூன்று பகடைகளிலும் ஒரே எண் வரும் விளைவுகளைக் கண்டறிவோம். இறுதியாக, நிகழ்தகவு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.
மொத்த சாத்தியமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை:
ஒரு பகடை உருட்டப்படும்போது, 6 சாத்தியமான விளைவுகள் உள்ளன (1, 2, 3, 4, 5, 6).
மூன்று பகடைகள் ஒரே நேரத்தில் உருட்டப்படும்போது, மொத்த சாத்தியமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை ஒவ்வொரு பகடைக்கான விளைவுகளின் பெருக்கற்பலன் ஆகும்.
\[ \text{Total outcomes} = 6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216 \]சாதகமான விளைவுகள் (அனைத்து பகடைகளிலும் ஒரே எண் கிடைப்பது):
மூன்று பகடைகளிலும் ஒரே எண் வரும் விளைவுகளை நாம் தேடுகிறோம். அவை:
இத்தகைய சாதகமான விளைவுகள் 6 உள்ளன.
நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுதல்:
ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பின்வரும் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது:
\[ P(\text{Event}) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}} \]\[ P(\text{same numbers}) = \frac{6}{216} \]பின்னத்தை சுருக்குதல்:
பகுதி மற்றும் தொகுதியை அவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியால் (6) வகுக்கவும்.
\[ P(\text{same numbers}) = \frac{6 \div 6}{216 \div 6} = \frac{1}{36} \]சரியான விடை: C) \(\frac{1}{36}\)
The curved surface area of a right circular cylinder of height 7 cm is 66 cm2. Find the diameter of the cylinder.
66 ச.செ.மீ வளைபரப்புடைய ஒரு நேர்வட்ட உருளையின் உயரம் 7 செ.மீ எனில், உருளையின் விட்டம் காண்க.
To find the present value of the motorcycle, we need to apply the given percentage changes year by year. First, calculate the value after depreciation in the first year. Then, use this new value to calculate the increase in the second year to find the final present value.
In the first year, the value depreciates by 4%.
Depreciation amount in 1st year \(= 4\% \text{ of } 80,000\)
\[ = \frac{4}{100} \times 80,000 = 4 \times 800 = 3,200 \]Value after 1st year \(= 80,000 - 3,200 = 76,800\)
In the second year, the value increases by 4% from the value at the end of the first year (Rs. 76,800).
Increase amount in 2nd year \(= 4\% \text{ of } 76,800\)
\[ = \frac{4}{100} \times 76,800 = 4 \times 768 = 3,072 \]Value after 2nd year (Present Value) \(= 76,800 + 3,072 = 79,872\)
Alternatively, using the formula for successive percentage changes:
If an initial value \(P\) first decreases by \(r_1\%\) and then increases by \(r_2\%\), the final value \(V\) is given by:
\[ V = P \times \left(1 - \frac{r_1}{100}\right) \times \left(1 + \frac{r_2}{100}\right) \]Here, \(P = 80,000\), \(r_1 = 4\), \(r_2 = 4\).
\[ V = 80,000 \times \left(1 - \frac{4}{100}\right) \times \left(1 + \frac{4}{100}\right) \] \[ V = 80,000 \times \left(\frac{96}{100}\right) \times \left(\frac{104}{100}\right) \] \[ V = 80,000 \times 0.96 \times 1.04 \] \[ V = 80,000 \times 0.9984 \] \[ V = 79,872 \]D) Rs. 79,872 is the present value of the motorcycle.
மோட்டார் சைக்கிளின் தற்போதைய மதிப்பைக் கண்டறிய, கொடுக்கப்பட்ட சதவீத மாற்றங்களை ஆண்டு வாரியாகப் பயன்படுத்த வேண்டும். முதலில், முதல் ஆண்டில் தேய்மானத்திற்குப் பிறகு உள்ள மதிப்பைக் கணக்கிடவும். பின்னர், இந்த புதிய மதிப்பைப் பயன்படுத்தி இரண்டாவது ஆண்டில் ஏற்படும் அதிகரிப்பைக் கணக்கிட்டு இறுதி தற்போதைய மதிப்பைக் கண்டறியவும்.
முதல் ஆண்டில், மதிப்பு 4% குறைகிறது.
முதல் ஆண்டில் தேய்மானத் தொகை \(= 80,000 இல் 4\%\)
\[ = \frac{4}{100} \times 80,000 = 4 \times 800 = 3,200 \]முதல் ஆண்டுக்குப் பிறகு மதிப்பு \(= 80,000 - 3,200 = 76,800\)
இரண்டாம் ஆண்டில், முதல் ஆண்டின் முடிவில் இருந்த மதிப்பிலிருந்து (ரூ. 76,800) 4% அதிகரிக்கிறது.
இரண்டாம் ஆண்டில் அதிகரித்த தொகை \(= 76,800 இல் 4\%\)
\[ = \frac{4}{100} \times 76,800 = 4 \times 768 = 3,072 \]இரண்டாம் ஆண்டுக்குப் பிறகு மதிப்பு (தற்போதைய மதிப்பு) \(= 76,800 + 3,072 = 79,872\)
மாற்றாக, தொடர்ச்சியான சதவீத மாற்றங்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:
ஒரு ஆரம்ப மதிப்பு \(P\) முதலில் \(r_1\%\) குறைந்து பின்னர் \(r_2\%\) அதிகரித்தால், இறுதி மதிப்பு \(V\) என்பது:
\[ V = P \times \left(1 - \frac{r_1}{100}\right) \times \left(1 + \frac{r_2}{100}\right) \]இங்கே, \(P = 80,000\), \(r_1 = 4\), \(r_2 = 4\).
\[ V = 80,000 \times \left(1 - \frac{4}{100}\right) \times \left(1 + \frac{4}{100}\right) \] \[ V = 80,000 \times \left(\frac{96}{100}\right) \times \left(\frac{104}{100}\right) \] \[ V = 80,000 \times 0.96 \times 1.04 \] \[ V = 80,000 \times 0.9984 \] \[ V = 79,872 \]D) ரூ. 79,872 என்பது மோட்டார் சைக்கிளின் தற்போதைய மதிப்பு.
To find out when the four cell phones will ring together again, we need to find the least common multiple (LCM) of their individual ringing intervals. The LCM will give us the minimum time after which all phones will ring simultaneously.
Therefore, the four cell phones will ring together again at 3 p.m.
Correct Option: C) 3 P.M. பிற்பகல் 3 மணி
நான்கு அலைபேசிகளும் மீண்டும் எப்போது ஒன்றாக ஒலிக்கும் என்பதைக் கண்டறிய, அவற்றின் தனிப்பட்ட ஒலிக்கும் இடைவெளிகளின் மீச்சிறு பொது மடங்கைக் (LCM) கண்டறிய வேண்டும். LCM ஆனது அனைத்து அலைபேசிகளும் ஒரே நேரத்தில் ஒலிக்கும் குறைந்தபட்ச நேரத்தை நமக்குக் கொடுக்கும்.
எனவே, நான்கு அலைபேசிகளும் மீண்டும் பிற்பகல் 3 மணிக்கு ஒன்றாக ஒலிக்கும்.
சரியான விடை: C) 3 P.M. பிற்பகல் 3 மணி
If HCF of x3-8y3 and x2-k2y2 is x + ky then value of k
x3-8y3 மற்றும் x2 - k2y2 ன் மீப்பெரு பொது வகுத்தி x+ ky எனில் k ன் மதிப்பு
The problem states that the HCF (Highest Common Factor) of two polynomials, \(x^3 - 8y^3\) and \(x^2 - k^2y^2\), is \(x + ky\). This means that \(x + ky\) must be a factor of both polynomials. We can use this property to find the value of \(k\).
The first polynomial is \(x^3 - 8y^3\). This is in the form of \(a^3 - b^3\), which factors as \((a - b)(a^2 + ab + b^2)\).
\[ x^3 - 8y^3 = x^3 - (2y)^3 = (x - 2y)(x^2 + x(2y) + (2y)^2) \]\[ = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \]We are given that the HCF is \(x + ky\). This means \(x + ky\) must be a factor of \(x^3 - 8y^3\).
Comparing \(x + ky\) with the factors of \(x^3 - 8y^3\), we see that \(x + ky\) must be equal to \(x - 2y\).
Therefore, \(ky = -2y\), which implies \(k = -2\).
The second polynomial is \(x^2 - k^2y^2\). Substitute \(k = -2\) into this polynomial.
\[ x^2 - (-2)^2y^2 = x^2 - 4y^2 \]The expression \(x^2 - 4y^2\) is in the form of \(a^2 - b^2\), which factors as \((a - b)(a + b)\).
\[ x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2 = (x - 2y)(x + 2y) \]With \(k = -2\), the HCF is given as \(x + (-2)y = x - 2y\).
The factors of \(x^3 - 8y^3\) are \((x - 2y)\) and \((x^2 + 2xy + 4y^2)\).
The factors of \(x^2 - 4y^2\) are \((x - 2y)\) and \((x + 2y)\).
The common factor is indeed \(x - 2y\). Thus, our value of \(k = -2\) is correct.
C) -2
\(x^3 - 8y^3\) மற்றும் \(x^2 - k^2y^2\) ஆகிய இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி (HCF) \(x + ky\) என்று கேள்வி கூறுகிறது. இதன் பொருள் \(x + ky\) என்பது இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் ஒரு காரணியாக இருக்க வேண்டும். இந்த பண்பைப் பயன்படுத்தி \(k\) இன் மதிப்பைக் கண்டறியலாம்.
முதல் பல்லுறுப்புக்கோவை \(x^3 - 8y^3\) ஆகும். இது \(a^3 - b^3\) வடிவத்தில் உள்ளது, இதன் காரணி \((a - b)(a^2 + ab + b^2)\) ஆகும்.
\[ x^3 - 8y^3 = x^3 - (2y)^3 = (x - 2y)(x^2 + x(2y) + (2y)^2) \]\[ = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2) \]மீப்பெரு பொது வகுத்தி \(x + ky\) என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் பொருள் \(x + ky\) என்பது \(x^3 - 8y^3\) இன் ஒரு காரணியாக இருக்க வேண்டும்.
\(x + ky\) ஐ \(x^3 - 8y^3\) இன் காரணிகளுடன் ஒப்பிடும்போது, \(x + ky\) என்பது \(x - 2y\) க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதை நாம் காண்கிறோம்.
எனவே, \(ky = -2y\), இது \(k = -2\) என்பதைக் குறிக்கிறது.
இரண்டாவது பல்லுறுப்புக்கோவை \(x^2 - k^2y^2\) ஆகும். இதில் \(k = -2\) ஐ பிரதியிடவும்.
\[ x^2 - (-2)^2y^2 = x^2 - 4y^2 \]\(x^2 - 4y^2\) என்ற கோவை \(a^2 - b^2\) வடிவத்தில் உள்ளது, இதன் காரணி \((a - b)(a + b)\) ஆகும்.
\[ x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2 = (x - 2y)(x + 2y) \]\(k = -2\) உடன், மீப்பெரு பொது வகுத்தி \(x + (-2)y = x - 2y\) என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(x^3 - 8y^3\) இன் காரணிகள் \((x - 2y)\) மற்றும் \((x^2 + 2xy + 4y^2)\) ஆகும்.
\(x^2 - 4y^2\) இன் காரணிகள் \((x - 2y)\) மற்றும் \((x + 2y)\) ஆகும்.
பொது காரணி உண்மையில் \(x - 2y\) ஆகும். எனவே, \(k = -2\) என்ற நமது மதிப்பு சரியானது.
C) -2
To solve this problem, we need to use the formula for simple interest. The principal amount doubles, which means the simple interest earned is equal to the principal. We will first calculate the time in years and then convert it into months.
Identify the given values:
Determine the simple interest (SI):
The problem states that the principal will double. This means the amount \((A)\) will be \(2 \times P\).
\[ A = 2 \times P = 2 \times 2000 = \text{Rs. } 4,000 \]Simple Interest is the difference between the Amount and the Principal:
\[ SI = A - P = 4000 - 2000 = \text{Rs. } 2,000 \]Alternatively, if the principal doubles, the interest earned must be equal to the principal itself.
\[ SI = P = \text{Rs. } 2,000 \]Use the simple interest formula to find time (T) in years:
The formula for simple interest is:
\[ SI = \frac{P \times R \times T}{100} \]Rearrange the formula to solve for \(T\):
\[ T = \frac{SI \times 100}{P \times R} \]Substitute the known values:
\[ T = \frac{2000 \times 100}{2000 \times 8} \] \[ T = \frac{100}{8} \] \[ T = 12.5 \text{ years} \]Convert time from years to months:
Since there are 12 months in a year, multiply the time in years by 12:
\[ \text{Time in months} = T \times 12 \] \[ \text{Time in months} = 12.5 \times 12 \] \[ \text{Time in months} = 150 \text{ months} \]Correct Option: B) 150 months
இந்தக் கணக்கைத் தீர்க்க, தனி வட்டிக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும். அசல் தொகை இரட்டிப்பாகிறது என்றால், ஈட்டப்பட்ட தனி வட்டி அசலுக்குச் சமம். முதலில் ஆண்டுகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிட்டு, பின்னர் அதை மாதங்களாக மாற்றுவோம்.
கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்:
தனி வட்டியைக் (SI) கண்டறியவும்:
அசல் இரட்டிப்பாகும் என்று கேள்வி கூறுகிறது. அதாவது, மொத்தத் தொகை \((A)\) என்பது \(2 \times P\) ஆகும்.
\[ A = 2 \times P = 2 \times 2000 = \text{ரூ. } 4,000 \]தனி வட்டி என்பது மொத்தத் தொகைக்கும் அசலுக்கும் உள்ள வேறுபாடு:
\[ SI = A - P = 4000 - 2000 = \text{ரூ. } 2,000 \]மாற்றாக, அசல் இரட்டிப்பாகும்போது, ஈட்டப்படும் வட்டி அசலுக்குச் சமமாக இருக்கும்.
\[ SI = P = \text{ரூ. } 2,000 \]ஆண்டுகளில் நேரத்தைக் (T) கண்டறிய தனி வட்டி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:
தனி வட்டிக்கான சூத்திரம்:
\[ SI = \frac{P \times R \times T}{100} \]\(T\) ஐக் கண்டறிய சூத்திரத்தை மாற்றியமைக்கவும்:
\[ T = \frac{SI \times 100}{P \times R} \]தெரிந்த மதிப்புகளைப் பிரதியிடவும்:
\[ T = \frac{2000 \times 100}{2000 \times 8} \] \[ T = \frac{100}{8} \] \[ T = 12.5 \text{ ஆண்டுகள்} \]நேரத்தை ஆண்டுகளிலிருந்து மாதங்களுக்கு மாற்றவும்:
ஒரு வருடத்தில் 12 மாதங்கள் இருப்பதால், ஆண்டுகளின் எண்ணிக்கையை 12 ஆல் பெருக்கவும்:
\[ \text{மாதங்களில் நேரம்} = T \times 12 \] \[ \text{மாதங்களில் நேரம்} = 12.5 \times 12 \] \[ \text{மாதங்களில் நேரம்} = 150 \text{ மாதங்கள்} \]சரியான விடை: B) 150 மாதங்கள்
To find the L.C.M. (Least Common Multiple) of decimal numbers, we first convert them into fractions with the same denominator. Then, we find the L.C.M. of the numerators and the H.C.F. (Highest Common Factor) of the denominators. The L.C.M. of the given decimal numbers will be the L.C.M. of the numerators divided by the H.C.F. of the denominators.
The largest denominator is 100. So, we convert all fractions to have a denominator of 100.
Now we need to find the L.C.M. of \[\frac{300}{100}, \frac{270}{100}, \frac{9}{100}\].
The L.C.M. of fractions is given by:
\[ \text{L.C.M. of fractions} = \frac{\text{L.C.M. of numerators}}{\text{H.C.F. of denominators}} \]Numerators are 300, 270, 9.
To find the L.C.M., we take the highest power of each prime factor present:
\[ \text{L.C.M.}(300, 270, 9) = 2^2 \times 3^3 \times 5^2 = 4 \times 27 \times 25 = 100 \times 27 = 2700 \]Denominators are 100, 100, 100.
The H.C.F. of identical numbers is the number itself.
\[ \text{H.C.F.}(100, 100, 100) = 100 \]Correct Option: D) 27
தசம எண்களின் மீ.சி.ம. (மீச்சிறு பொது மடங்கு) கண்டுபிடிக்க, முதலில் அவற்றை ஒரே பகுதியைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாற்ற வேண்டும். பின்னர், தொகுதிகளின் மீ.சி.ம. மற்றும் பகுதிகளின் மீ.பொ.வ. (மீப்பெரு பொது வகுத்தி) ஆகியவற்றைக் கண்டறிய வேண்டும். கொடுக்கப்பட்ட தசம எண்களின் மீ.சி.ம. என்பது தொகுதிகளின் மீ.சி.ம. ஐ பகுதிகளின் மீ.பொ.வ. ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும்.
மிகப்பெரிய பகுதி 100 ஆகும். எனவே, அனைத்து பின்னங்களையும் 100 என்ற பகுதியுடன் மாற்றுகிறோம்.
இப்போது நாம் \[\frac{300}{100}, \frac{270}{100}, \frac{9}{100}\] ஆகியவற்றின் மீ.சி.ம. ஐக் கண்டறிய வேண்டும்.
பின்னங்களின் மீ.சி.ம. பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:
\[ \text{பின்னங்களின் மீ.சி.ம.} = \frac{\text{தொகுதிகளின் மீ.சி.ம.}}{\text{பகுதிகளின் மீ.பொ.வ.}} \]தொகுதிகள் 300, 270, 9.
மீ.சி.ம. ஐக் கண்டறிய, ஒவ்வொரு பகா காரணியின் அதிகபட்ச அடுக்கை எடுக்கிறோம்:
\[ \text{L.C.M.}(300, 270, 9) = 2^2 \times 3^3 \times 5^2 = 4 \times 27 \times 25 = 100 \times 27 = 2700 \]பகுதிகள் 100, 100, 100.
ஒரே எண்களின் மீ.பொ.வ. அந்த எண் தான்.
\[ \text{H.C.F.}(100, 100, 100) = 100 \]சரியான விடை: D) 27
Which one of the following lies between \(\sqrt[3]{7}\) and \(\sqrt[4]{5}\)?
கீழ்க்காண்பவற்றில் எது \(\sqrt[3]{7}\) மற்றும் \(\sqrt[4]{5}\) இவற்றிற்கு இடையில் அமையும்?
\(\sqrt{2}\)
\(\sqrt{3}\)
\(\sqrt{4}\)
\(\sqrt{5}\)
To find which option lies between \(\sqrt[3]{7}\) and \(\sqrt[4]{5}\), we need to approximate the values of these two numbers and then compare them with the values of the given options. A common way to compare roots is to raise them to a common power to eliminate the roots, or to estimate their decimal values.
B) \(\sqrt{3}\) is approximately \(1.732\), which lies between \(\sqrt[4]{5} \approx 1.49\) and \(\sqrt[3]{7} \approx 1.91\).
\(\sqrt[3]{7}\) மற்றும் \(\sqrt[4]{5}\) ஆகியவற்றுக்கு இடையில் எந்த விருப்பம் அமைகிறது என்பதைக் கண்டறிய, இந்த இரண்டு எண்களின் மதிப்புகளை தோராயமாக மதிப்பிட்டு, பின்னர் கொடுக்கப்பட்ட விருப்பங்களின் மதிப்புகளுடன் ஒப்பிட வேண்டும். வேர்களை ஒப்பிடுவதற்கு ஒரு பொதுவான வழி, வேர்களை நீக்குவதற்கு அவற்றை ஒரு பொதுவான அடுக்குக்கு உயர்த்துவது அல்லது அவற்றின் தசம மதிப்புகளை மதிப்பிடுவது.
B) \(\sqrt{3}\) தோராயமாக \(1.732\), இது \(\sqrt[4]{5} \approx 1.49\) மற்றும் \(\sqrt[3]{7} \approx 1.91\) க்கு இடையில் அமைகிறது.