Which of the following set of measurements will form a right angle triangle ?
கீழே கொடுக்கப்பட்ட அளவுகளில் எவை செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும் ?
6, 9, 12
5, 8, 10
5, 5, 5 \(\sqrt{2}\)
3, 1, 4 \(\sqrt{2}\)
To determine if a set of three measurements can form a right-angled triangle, we use the Pythagorean theorem. The Pythagorean theorem states that in a right-angled triangle, the square of the length of the hypotenuse (the side opposite the right angle, which is always the longest side) is equal to the sum of the squares of the lengths of the other two sides (legs). Mathematically, if the sides are \(a\), \(b\), and \(c\) (where \(c\) is the hypotenuse), then \(a^2 + b^2 = c^2\).
C) 5, 5, 5 \(\sqrt{2}\)
A) 6, 9, 12
B) 5, 8, 10
D) 3, 1, 4 \(\sqrt{2}\)
மூன்று அளவுகள் செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குமா என்பதைக் கண்டறிய, நாம் பித்தகோரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். பித்தகோரஸ் தேற்றம் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், செங்கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள பக்கத்தின் (கர்ணம், இது எப்போதும் மிக நீளமான பக்கம்) வர்க்கம், மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் (கால்கள்) வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம் என்று கூறுகிறது. கணித ரீதியாக, பக்கங்கள் \(a\), \(b\), மற்றும் \(c\) (இங்கு \(c\) கர்ணம்) எனில், \(a^2 + b^2 = c^2\).
C) 5, 5, 5 \(\sqrt{2}\)
A) 6, 9, 12
B) 5, 8, 10
D) 3, 1, 4 \(\sqrt{2}\)
The value of
To solve this problem, we need to evaluate the given expression by simplifying it from the innermost square root outwards. This involves calculating the square root of each number sequentially.
The innermost term is \(\sqrt{81}\).
\[ \sqrt{81} = 9 \]Now, substitute this value back into the expression:
\[ \sqrt{7+\sqrt{81}} = \sqrt{7+9} = \sqrt{16} \]Calculate the square root:
\[ \sqrt{16} = 4 \]Next, substitute this value:
\[ \sqrt{60+\sqrt{7+\sqrt{81}}} = \sqrt{60+4} = \sqrt{64} \]Calculate the square root:
\[ \sqrt{64} = 8 \]Substitute this value into the next part of the expression:
\[ \sqrt{248+\sqrt{60+\sqrt{7+\sqrt{81}}}} = \sqrt{248+8} = \sqrt{256} \]Calculate the square root:
\[ \sqrt{256} = 16 \]Finally, substitute this value into the outermost square root:
\[ \sqrt{609+\sqrt{248+\sqrt{60+\sqrt{7+\sqrt{81}}}}} = \sqrt{609+16} = \sqrt{625} \]Calculate the square root:
\[ \sqrt{625} = 25 \]The value of the entire expression is 25.
Correct Option: B) 25
இந்தக் கணக்கை தீர்க்க, கொடுக்கப்பட்ட கோவையை உள்ளே இருந்து வெளிநோக்கி உள்ள வர்க்கமூலங்களை படிப்படியாகக் கணக்கிட்டு எளிதாக்க வேண்டும். ஒவ்வொரு எண்ணின் வர்க்கமூலத்தையும் தொடர்ச்சியாகக் கணக்கிடுவது இதில் அடங்கும்.
உள்ளே உள்ள பதம் \(\sqrt{81}\).
\[ \sqrt{81} = 9 \]இப்போது, இந்த மதிப்பை கோவையில் மீண்டும் பிரதியிடவும்:
\[ \sqrt{7+\sqrt{81}} = \sqrt{7+9} = \sqrt{16} \]வர்க்கமூலத்தைக் கணக்கிடவும்:
\[ \sqrt{16} = 4 \]அடுத்து, இந்த மதிப்பை பிரதியிடவும்:
\[ \sqrt{60+\sqrt{7+\sqrt{81}}} = \sqrt{60+4} = \sqrt{64} \]வர்க்கமூலத்தைக் கணக்கிடவும்:
\[ \sqrt{64} = 8 \]இந்த மதிப்பை கோவையின் அடுத்த பகுதிக்கு பிரதியிடவும்:
\[ \sqrt{248+\sqrt{60+\sqrt{7+\sqrt{81}}}} = \sqrt{248+8} = \sqrt{256} \]வர்க்கமூலத்தைக் கணக்கிடவும்:
\[ \sqrt{256} = 16 \]இறுதியாக, இந்த மதிப்பை வெளிப்புற வர்க்கமூலத்தில் பிரதியிடவும்:
\[ \sqrt{609+\sqrt{248+\sqrt{60+\sqrt{7+\sqrt{81}}}}} = \sqrt{609+16} = \sqrt{625} \]வர்க்கமூலத்தைக் கணக்கிடவும்:
\[ \sqrt{625} = 25 \]முழு கோவையின் மதிப்பு 25 ஆகும்.
சரியான விடை: B) 25
The price of a house is decreased from rupees fifteen lakhs to rupees twelve lakhs. The percentage of decrease is
ஒரு வீட்டின் விலை 15 இலட்சம் ரூபாயிலிருந்து 12 இலட்சம் ரூபாயாகக் குறைந்தது எனில் குறைந்த சதவீதம்
To find the percentage decrease, we first calculate the actual decrease in price. Then, we divide this decrease by the original price and multiply by 100 to express it as a percentage.
Decrease in Price = Original Price - New Price
\[ \text{Decrease in Price} = \text{Rs. } 15,00,000 - \text{Rs. } 12,00,000 = \text{Rs. } 3,00,000 \]Percentage Decrease = \[\left( \frac{\text{Decrease in Price}}{\text{Original Price}} \right) \times 100\]
\[ \text{Percentage Decrease} = \left( \frac{3,00,000}{15,00,000} \right) \times 100 \]\[ \text{Percentage Decrease} = \left( \frac{3}{15} \right) \times 100 \]\[ \text{Percentage Decrease} = \left( \frac{1}{5} \right) \times 100 \]\[ \text{Percentage Decrease} = 0.2 \times 100 = 20\% \]The percentage of decrease is 20%.
Correct Option: B) 20%
குறைந்த சதவீதத்தைக் கண்டறிய, முதலில் விலையில் ஏற்பட்ட உண்மையான குறைவைக் கணக்கிட வேண்டும். பின்னர், இந்த குறைவை அசல் விலையால் வகுத்து 100 ஆல் பெருக்கினால் சதவீதத்தில் வெளிப்படுத்தலாம்.
விலையில் ஏற்பட்ட குறைவு = அசல் விலை - புதிய விலை
\[ \text{Decrease in Price} = \text{Rs. } 15,00,000 - \text{Rs. } 12,00,000 = \text{Rs. } 3,00,000 \]குறைந்த சதவீதம் = \[\left( \frac{\text{Decrease in Price}}{\text{Original Price}} \right) \times 100\]
\[ \text{Percentage Decrease} = \left( \frac{3,00,000}{15,00,000} \right) \times 100 \]\[ \text{Percentage Decrease} = \left( \frac{3}{15} \right) \times 100 \]\[ \text{Percentage Decrease} = \left( \frac{1}{5} \right) \times 100 \]\[ \text{Percentage Decrease} = 0.2 \times 100 = 20\% \]குறைந்த சதவீதம் 20% ஆகும்.
சரியான விடை: B) 20%
If 3(t - 3) = 5(2t+ 1) then t = ?
3(t - 3) = 5(2t+ 1) எனில் t = ?
The problem requires us to solve a linear equation for the variable \(t\). The approach involves using the distributive property to expand both sides of the equation, then collecting like terms (terms with \(t\) and constant terms) on opposite sides of the equation, and finally isolating \(t\) to find its value.
Multiply the number outside the parenthesis by each term inside the parenthesis.
Left side:
\[ 3 \times t - 3 \times 3 = 3t - 9 \]Right side:
\[ 5 \times 2t + 5 \times 1 = 10t + 5 \]So the equation becomes:
\[ 3t - 9 = 10t + 5 \]It's generally easier to move the term with \(t\) that results in a positive coefficient for \(t\). In this case, moving \(3t\) to the right side will keep the coefficient of \(t\) positive. Alternatively, we can move \(10t\) to the left side.
Let's move \(10t\) from the right side to the left side by subtracting \(10t\) from both sides:
\[ 3t - 10t - 9 = 5 \] \[ -7t - 9 = 5 \]Now, move the constant term \(-9\) from the left side to the right side by adding \(9\) to both sides:
\[ -7t = 5 + 9 \] \[ -7t = 14 \]Divide both sides by \(-7\) to solve for \(t\):
\[ t = \frac{14}{-7} \] \[ t = -2 \]Correct Option: A) -2
இந்தக் கணக்கில் \(t\) என்ற மாறியின் மதிப்பை ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் கண்டறிய வேண்டும். சமன்பாட்டின் இருபுறமும் உள்ள அடைப்புக்குறிகளைப் பிரித்தெடுத்து, \(t\) உள்ள உறுப்புகளையும் மாறிலி உறுப்புகளையும் சமன்பாட்டின் எதிர் பக்கங்களில் சேகரித்து, இறுதியாக \(t\) ஐ தனிமைப்படுத்தி அதன் மதிப்பைக் கண்டறிவதே அணுகுமுறை.
அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே உள்ள எண்ணை அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புடனும் பெருக்குங்கள்.
இடது பக்கம்:
\[ 3 \times t - 3 \times 3 = 3t - 9 \]வலது பக்கம்:
\[ 5 \times 2t + 5 \times 1 = 10t + 5 \]இப்போது சமன்பாடு:
\[ 3t - 9 = 10t + 5 \]\(t\) இன் கெழு நேர்மறையாக இருக்கும்படி \(t\) உள்ள உறுப்பை நகர்த்துவது பொதுவாக எளிது. இந்தச் சந்தர்ப்பத்தில், \(3t\) ஐ வலது பக்கத்திற்கு நகர்த்துவது \(t\) இன் கெழுவை நேர்மறையாக வைத்திருக்கும். மாற்றாக, \(10t\) ஐ இடது பக்கத்திற்கு நகர்த்தலாம்.
\(10t\) ஐ வலது பக்கத்திலிருந்து இடது பக்கத்திற்கு நகர்த்த, இருபுறமும் \(10t\) ஐ கழிக்கவும்:
\[ 3t - 10t - 9 = 5 \] \[ -7t - 9 = 5 \]இப்போது, மாறிலி உறுப்பு \(-9\) ஐ இடது பக்கத்திலிருந்து வலது பக்கத்திற்கு நகர்த்த, இருபுறமும் \(9\) ஐ கூட்டவும்:
\[ -7t = 5 + 9 \] \[ -7t = 14 \]\(t\) ஐ தீர்க்க இருபுறமும் \(-7\) ஆல் வகுக்கவும்:
\[ t = \frac{14}{-7} \] \[ t = -2 \]சரியான விடை: A) -2
The value of \(\frac{1.75\times1.75 + 2\times1.75\times0.75 + 0.75\times0.75}{1.75\times1.75 - 0.75\times0.75} = 2.5\)
\(\frac{1.75\times1.75 + 2\times1.75\times0.75 + 0.75\times0.75}{1.75\times1.75 - 0.75\times0.75} = 2.5\) - ன் மதிப்பு
The problem asks us to evaluate a given algebraic expression. We can simplify the expression by recognizing common algebraic identities in the numerator and the denominator. The numerator resembles \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) and the denominator resembles \((a^2 - b^2) = (a-b)(a+b)\).
Correct Option: D) 2.5
கொடுக்கப்பட்ட இயற்கணித கோவையை மதிப்பிட வேண்டும். தொகுதி மற்றும் பகுதியில் உள்ள பொதுவான இயற்கணித சூத்திரங்களை அடையாளம் காண்பதன் மூலம் கோவையை எளிதாக்கலாம். தொகுதி \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) என்பதை ஒத்திருக்கிறது, மற்றும் பகுதி \((a^2 - b^2) = (a-b)(a+b)\) என்பதை ஒத்திருக்கிறது.
சரியான விடை: D) 2.5
The value of 163 + 73 - 233 is
163 + 73 - 233 ன் மதிப்பு
This problem involves calculating the value of an expression involving cubes. We can either calculate each cube individually and then perform the additions/subtractions, or we can use an algebraic identity. A useful identity for sums of cubes is: if \(a + b + c = 0\), then \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\). We will check if this identity can be applied here.
Calculate the sum:
\[ a + b + c = 16 + 7 + (-23) \]\[ a + b + c = 23 - 23 \]\[ a + b + c = 0 \]Substitute the values of \(a\), \(b\), and \(c\):
\[ 16^3 + 7^3 + (-23)^3 = 3 \times 16 \times 7 \times (-23) \]First, multiply the positive numbers:
\[ 3 \times 16 = 48 \]\[ 48 \times 7 = 336 \]\[ 336 \times (-23) \]Multiply 336 by 23:
\[ 336 \times 23 \]\[ = 336 \times (20 + 3) \]\[ = (336 \times 20) + (336 \times 3) \]\[ = 6720 + 1008 \]\[ = 7728 \]Since one of the numbers is negative, the final result will be negative.\[ 3 \times 16 \times 7 \times (-23) = -7728 \]Correct Option: A) -7728
இந்தக் கணக்கு கன எண்களைக் கொண்ட ஒரு கோவையின் மதிப்பைக் கண்டறிவது பற்றியது. ஒவ்வொரு கன எண்ணையும் தனித்தனியாகக் கணக்கிட்டு பின்னர் கூட்டல்/கழித்தல் செய்யலாம், அல்லது ஒரு இயற்கணித முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தலாம். கன எண்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான ஒரு பயனுள்ள முற்றொருமை: \(a + b + c = 0\) எனில், \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\). இந்த முற்றொருமையை இங்குப் பயன்படுத்த முடியுமா என்று சரிபார்ப்போம்.
கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடுவோம்:
\[ a + b + c = 16 + 7 + (-23) \]\[ a + b + c = 23 - 23 \]\[ a + b + c = 0 \]\(a\), \(b\), மற்றும் \(c\) மதிப்புகளைப் பிரதியிடுவோம்:
\[ 16^3 + 7^3 + (-23)^3 = 3 \times 16 \times 7 \times (-23) \]முதலில், நேர்மறை எண்களைப் பெருக்குவோம்:
\[ 3 \times 16 = 48 \]\[ 48 \times 7 = 336 \]\[ 336 \times (-23) \]336 ஐ 23 ஆல் பெருக்குவோம்:
\[ 336 \times 23 \]\[ = 336 \times (20 + 3) \]\[ = (336 \times 20) + (336 \times 3) \]\[ = 6720 + 1008 \]\[ = 7728 \]எண்களில் ஒன்று எதிர்மறையாக இருப்பதால், இறுதி முடிவு எதிர்மறையாக இருக்கும்.\[ 3 \times 16 \times 7 \times (-23) = -7728 \]சரியான விடை: A) -7728
Find the next term of 4 in the series is 1, 1, 2, 8, 3, 27, 4, ...
1, 1, 2, 8, 3, 27, 4, ... என்ற தொடரின் 4-ற்கு அடுத்த உறுப்பு ?
The given series is an alternating series where terms are grouped. We need to identify the pattern for these groups to find the next term after 4.
Correct Option: D) 64
கொடுக்கப்பட்ட தொடர் ஒரு மாற்றுத் தொடர் ஆகும், இதில் உறுப்புகள் குழுக்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன. 4 க்குப் பிறகு வரும் அடுத்த உறுப்பைக் கண்டறிய இந்தக் குழுக்களுக்கான வடிவத்தை நாம் அடையாளம் காண வேண்டும்.
சரியான விடை: D) 64
Three angles of a triangle are x- 30°, x- 45°, x + 15°, find the value of x.
ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்கள் x - 30°, x - 45°, x + 15° எனில் x-ன் மதிப்பு
The problem provides the expressions for the three angles of a triangle in terms of a variable 'x'. The fundamental property of a triangle is that the sum of its interior angles is always 180 degrees. We will use this property to form an equation and solve for 'x'.
Correct Option: C) 80°
ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களுக்கான சமன்பாடுகள் 'x' என்ற மாறியின் அடிப்படையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று உட்கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 180 டிகிரி ஆகும் என்ற அடிப்படைப் பண்பைப் பயன்படுத்தி, 'x' இன் மதிப்பைக் கண்டறிய ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்க்கலாம்.
சரியான விடை: C) 80°
The difference between simple interest and compound interest for a sum of Rs. 12,000 lent at 10% per annum in 2 years, is
ரூ.12,000-க்கு 10% வட்டி வீதம் எனில் இரண்டு ஆண்டுகளில் கிடைக்கும் கூட்டு வட்டிக்கும் தனிவட்டிக்கும் உள்ள வித்தியாசம்
Rs. 80
ரூ. 80
Rs. 90
ரூ. 90
Rs. 120
ரூ. 120
Rs. 100
ரூ. 100
To find the difference between simple interest (SI) and compound interest (CI) for two years, we can calculate each separately and then find their difference. Alternatively, there's a direct formula for the difference between CI and SI for 2 years, which is often quicker.
The formula for simple interest is:
\[ SI = \frac{P \times R \times T}{100} \]Substitute the given values:
\[ SI = \frac{12000 \times 10 \times 2}{100} = \frac{240000}{100} = 2400 \]So, the Simple Interest is Rs. 2,400.
The formula for the amount (\(A\)) under compound interest is:
\[ A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T \]Substitute the given values:
\[ A = 12000 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 = 12000 \left(1 + \frac{1}{10}\right)^2 \] \[ A = 12000 \left(\frac{11}{10}\right)^2 = 12000 \times \frac{121}{100} = 120 \times 121 = 14520 \]Compound Interest (\(CI\)) is \(A - P\):
\[ CI = 14520 - 12000 = 2520 \]So, the Compound Interest is Rs. 2,520.
For 2 years, the difference between CI and SI is given by the formula:
\[ \text{Difference} = P \left(\frac{R}{100}\right)^2 \]Substitute the given values:
\[ \text{Difference} = 12000 \left(\frac{10}{100}\right)^2 = 12000 \left(\frac{1}{10}\right)^2 \] \[ \text{Difference} = 12000 \times \frac{1}{100} = 120 \]Both methods yield the same result.
C) Rs. 120 is the correct answer. The difference between the compound interest and simple interest is Rs. 120.
இரண்டு ஆண்டுகளுக்கு தனி வட்டிக்கும் (SI) கூட்டு வட்டிக்கும் (CI) உள்ள வித்தியாசத்தைக் கண்டறிய, நாம் ஒவ்வொன்றையும் தனித்தனியாகக் கணக்கிட்டு, பின்னர் அவற்றின் வித்தியாசத்தைக் காணலாம். அல்லது, 2 ஆண்டுகளுக்கு CI மற்றும் SI இடையே உள்ள வித்தியாசத்திற்கான நேரடி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம், இது பெரும்பாலும் விரைவானது.
தனி வட்டிக்கு சூத்திரம்:
\[ SI = \frac{P \times R \times T}{100} \]கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பிரதியிடவும்:
\[ SI = \frac{12000 \times 10 \times 2}{100} = \frac{240000}{100} = 2400 \]ஆகவே, தனி வட்டி ரூ. 2,400.
கூட்டு வட்டியின் கீழ் தொகைக்கு (\(A\)) சூத்திரம்:
\[ A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T \]கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பிரதியிடவும்:
\[ A = 12000 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 = 12000 \left(1 + \frac{1}{10}\right)^2 \] \[ A = 12000 \left(\frac{11}{10}\right)^2 = 12000 \times \frac{121}{100} = 120 \times 121 = 14520 \]கூட்டு வட்டி (\(CI\)) என்பது \(A - P\):
\[ CI = 14520 - 12000 = 2520 \]ஆகவே, கூட்டு வட்டி ரூ. 2,520.
2 ஆண்டுகளுக்கு, CI மற்றும் SI இடையே உள்ள வித்தியாசம் பின்வரும் சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது:
\[ \text{Difference} = P \left(\frac{R}{100}\right)^2 \]கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பிரதியிடவும்:
\[ \text{Difference} = 12000 \left(\frac{10}{100}\right)^2 = 12000 \left(\frac{1}{10}\right)^2 \] \[ \text{Difference} = 12000 \times \frac{1}{100} = 120 \]இரண்டு முறைகளும் ஒரே முடிவைத் தருகின்றன.
C) ரூ. 120 என்பது சரியான விடை. கூட்டு வட்டிக்கும் தனி வட்டிக்கும் உள்ள வித்தியாசம் ரூ. 120.
If you stand in a rectangular room, where two adjacent walls are covered with plane mirrors, the total number of your images will be
ஒரு செவ்வக அறையில் சமதள ஆடிகள் பொருத்தப்பட்ட இரண்டு அடுத்தடுத்த சுவர்களுக்கு இடையே நீ நிற்கிறாய் எனில், உனது மொத்த பிம்பங்களின் எண்ணிக்கை எத்தனை ?
This problem involves the formation of images by two plane mirrors placed at an angle to each other. The number of images formed depends on the angle between the mirrors. When two plane mirrors are placed perpendicular to each other (which is the case for adjacent walls in a rectangular room), the angle between them is 90 degrees. We can use the formula for the number of images formed by two inclined mirrors.
C) 3. As calculated, when two plane mirrors are placed at an angle of 90 degrees, the total number of images formed is 3.
இந்தக் கேள்வி, ஒன்றுக்கொன்று ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தில் வைக்கப்பட்டுள்ள இரண்டு சமதள ஆடிகள் மூலம் உருவாகும் பிம்பங்களின் எண்ணிக்கையைப் பற்றியது. ஒரு செவ்வக அறையில், அடுத்தடுத்த சுவர்கள் செங்குத்தாக இருக்கும். எனவே, இரண்டு சமதள ஆடிகள் 90 டிகிரி கோணத்தில் வைக்கப்பட்டுள்ளதாகக் கருதலாம். இரண்டு சாய்ந்த கண்ணாடிகளால் உருவாகும் பிம்பங்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறிய நாம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.
C) 3. கணக்கிடப்பட்டபடி, இரண்டு சமதள ஆடிகள் 90 டிகிரி கோணத்தில் வைக்கப்படும் போது, உருவாகும் மொத்த பிம்பங்களின் எண்ணிக்கை 3 ஆகும்.