Which of the following set of measurements will form a right angle triangle?
கீழே கொடுக்கப்பட்ட அளவுகளில் எவை செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும் ?
6, 9, 12
5, 8, 10
5, 5, 5 \(\sqrt{2}\)
3, 1, 4 \(\sqrt{2}\)
To determine if a given set of three measurements can form a right-angled triangle, we use the Pythagorean theorem. The Pythagorean theorem states that in a right-angled triangle, the square of the length of the hypotenuse (the side opposite the right angle, which is always the longest side) is equal to the sum of the squares of the lengths of the other two sides (legs). Mathematically, if the sides are \(a\), \(b\), and \(c\) (where \(c\) is the hypotenuse), then \(a^2 + b^2 = c^2\).
C) 5, 5, \(5 \sqrt{2}\)
A) 6, 9, 12
B) 5, 8, 10
D) 3, 1, \(4 \sqrt{2}\)
கொடுக்கப்பட்ட மூன்று அளவுகள் செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குமா என்பதைக் கண்டறிய, நாம் பித்தகோரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். பித்தகோரஸ் தேற்றம் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், கர்ணத்தின் நீளத்தின் வர்க்கம் (செங்கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள பக்கம், இது எப்போதும் மிக நீளமான பக்கம்) மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் (கால்கள்) நீளங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம் என்று கூறுகிறது. கணித ரீதியாக, பக்கங்கள் \(a\), \(b\), மற்றும் \(c\) (இங்கு \(c\) கர்ணம்) எனில், \(a^2 + b^2 = c^2\).
C) 5, 5, \(5 \sqrt{2}\)
A) 6, 9, 12
B) 5, 8, 10
D) 3, 1, \(4 \sqrt{2}\)
The value of
This problem involves simplifying a nested square root expression. The most effective approach is to start from the innermost square root and work outwards, simplifying each layer step-by-step.
Start with the innermost square root: \(\sqrt{81}\)
\[ \sqrt{81} = 9 \]Substitute this value back into the expression:
\[ \sqrt{609+\sqrt{248+\sqrt{60+\sqrt{7+9}}}} \] \[ \sqrt{609+\sqrt{248+\sqrt{60+\sqrt{16}}}} \]Simplify the next innermost square root: \(\sqrt{16}\)
\[ \sqrt{16} = 4 \]Substitute this value back into the expression:
\[ \sqrt{609+\sqrt{248+\sqrt{60+4}}} \] \[ \sqrt{609+\sqrt{248+\sqrt{64}}} \]Simplify the next innermost square root: \(\sqrt{64}\)
\[ \sqrt{64} = 8 \]Substitute this value back into the expression:
\[ \sqrt{609+\sqrt{248+8}} \] \[ \sqrt{609+\sqrt{256}} \]Simplify the next innermost square root: \(\sqrt{256}\)
Recall that \(16^2 = 256\).
\[ \sqrt{256} = 16 \]Substitute this value back into the expression:
\[ \sqrt{609+16} \] \[ \sqrt{625} \]Simplify the final square root: \(\sqrt{625}\)
Recall that \(25^2 = 625\).
\[ \sqrt{625} = 25 \]Thus, the value of the entire expression is 25.
Correct Option: B) 25
இந்தக் கணக்கு ஒன்றன் கீழ் ஒன்றாக அமைந்துள்ள வர்க்கமூலக் கோவையைச் சுருக்குவதைப் பற்றியது. உள்ளே உள்ள வர்க்கமூலத்திலிருந்து தொடங்கி, ஒவ்வொரு அடுக்கையும் படிப்படியாகச் சுருக்குவது மிகவும் பயனுள்ள அணுகுமுறையாகும்.
உள்ளே உள்ள வர்க்கமூலத்துடன் தொடங்கவும்: \(\sqrt{81}\)
\[ \sqrt{81} = 9 \]இந்த மதிப்பை மீண்டும் கோவையில் பிரதியிடவும்:
\[ \sqrt{609+\sqrt{248+\sqrt{60+\sqrt{7+9}}}} \] \[ \sqrt{609+\sqrt{248+\sqrt{60+\sqrt{16}}}} \]அடுத்த உள்ளே உள்ள வர்க்கமூலத்தைச் சுருக்கவும்: \(\sqrt{16}\)
\[ \sqrt{16} = 4 \]இந்த மதிப்பை மீண்டும் கோவையில் பிரதியிடவும்:
\[ \sqrt{609+\sqrt{248+\sqrt{60+4}}} \] \[ \sqrt{609+\sqrt{248+\sqrt{64}}} \]அடுத்த உள்ளே உள்ள வர்க்கமூலத்தைச் சுருக்கவும்: \(\sqrt{64}\)
\[ \sqrt{64} = 8 \]இந்த மதிப்பை மீண்டும் கோவையில் பிரதியிடவும்:
\[ \sqrt{609+\sqrt{248+8}} \] \[ \sqrt{609+\sqrt{256}} \]அடுத்த உள்ளே உள்ள வர்க்கமூலத்தைச் சுருக்கவும்: \(\sqrt{256}\)
\(16^2 = 256\) என்பதை நினைவில் கொள்க.
\[ \sqrt{256} = 16 \]இந்த மதிப்பை மீண்டும் கோவையில் பிரதியிடவும்:
\[ \sqrt{609+16} \] \[ \sqrt{625} \]இறுதி வர்க்கமூலத்தைச் சுருக்கவும்: \(\sqrt{625}\)
\(25^2 = 625\) என்பதை நினைவில் கொள்க.
\[ \sqrt{625} = 25 \]எனவே, முழு கோவையின் மதிப்பு 25 ஆகும்.
சரியான விடை: B) 25
The price of a house is decreased from rupees fifteen lakhs to rupees twelve lakhs. The percentage of decrease is
ஒரு வீட்டின் விலை 15 இலட்சம் ரூபாயிலிருந்து 12 இலட்சம் ரூபாயாகக் குறைந்தது எனில் குறைந்த சதவீதம்
To find the percentage decrease, we first calculate the actual decrease in price. Then, we divide this decrease by the original price and multiply by 100 to express it as a percentage.
Correct Option: B) 20%
குறைந்த சதவீதத்தைக் கண்டறிய, முதலில் விலையில் ஏற்பட்ட உண்மையான குறைவைக் கணக்கிட வேண்டும். பின்னர், இந்தக் குறைவை அசல் விலையால் வகுத்து, அதை சதவீதமாக வெளிப்படுத்த 100 ஆல் பெருக்க வேண்டும்.
சரியான விடை: B) 20%
If 3(t - 3) = 5(2t+ 1) then t = ?
3(t - 3) = 5(2t+ 1) எனில் t = ?
To find the value of \(t\), we need to solve the given linear equation. This involves expanding both sides of the equation, collecting like terms (terms with \(t\) on one side and constant terms on the other), and then isolating \(t\).
Multiply \(3\) by each term inside the first parenthesis and \(5\) by each term inside the second parenthesis.
\[ 3 \times t - 3 \times 3 = 5 \times 2t + 5 \times 1 \] \[ 3t - 9 = 10t + 5 \]It's generally easier to move the smaller \(t\) term to the side with the larger \(t\) term to avoid negative coefficients for \(t\). So, subtract \(3t\) from both sides:
\[ -9 = 10t - 3t + 5 \] \[ -9 = 7t + 5 \]Now, subtract \(5\) from both sides to isolate the term with \(t\):
\[ -9 - 5 = 7t \] \[ -14 = 7t \]Divide both sides by \(7\):
\[ \frac{-14}{7} = t \] \[ t = -2 \]Correct Option: A) -2
\(t\)-இன் மதிப்பைக் கண்டறிய, கொடுக்கப்பட்ட நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும். இதில் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் விரிவுபடுத்துதல், ஒத்த உறுப்புகளை ( \(t\) உடன் கூடிய உறுப்புகளை ஒரு பக்கத்திலும், மாறிலி உறுப்புகளை மறுபக்கத்திலும்) சேகரித்தல், பின்னர் \(t\)-ஐ தனிமைப்படுத்துதல் ஆகியவை அடங்கும்.
முதல் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பையும் \(3\)-ஆலும், இரண்டாவது அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பையும் \(5\)-ஆலும் பெருக்கவும்.
\[ 3 \times t - 3 \times 3 = 5 \times 2t + 5 \times 1 \] \[ 3t - 9 = 10t + 5 \]\(t\)-இன் சிறிய உறுப்பை பெரிய \(t\) உறுப்பு உள்ள பக்கத்திற்கு நகர்த்துவது பொதுவாக எளிதானது, இதனால் \(t\)-இன் குணகங்கள் எதிர்மறையாக மாறுவதைத் தவிர்க்கலாம். எனவே, இருபுறமும் \(3t\)-ஐ கழிக்கவும்:
\[ -9 = 10t - 3t + 5 \] \[ -9 = 7t + 5 \]இப்போது, \(t\) உடன் கூடிய உறுப்பை தனிமைப்படுத்த இருபுறமும் \(5\)-ஐ கழிக்கவும்:
\[ -9 - 5 = 7t \] \[ -14 = 7t \]இருபுறமும் \(7\)-ஆல் வகுக்கவும்:
\[ \frac{-14}{7} = t \] \[ t = -2 \]சரியான விடை: A) -2
The value of \(\frac{1.75\times1.75 + 2\times1.75\times0.75 + 0.75\times0.75}{1.75\times1.75 - 0.75\times0.75} = 2.5\)
\(\frac{1.75\times1.75 + 2\times1.75\times0.75 + 0.75\times0.75}{1.75\times1.75 - 0.75\times0.75} = 2.5\)ன் மதிப்பு
The problem asks us to evaluate a given algebraic expression. We can simplify the expression by recognizing common algebraic identities. The numerator resembles the expansion of \((a+b)^2\), and the denominator resembles the expansion of \((a^2 - b^2)\).
Correct Option: D) 2.5
கொடுக்கப்பட்ட இயற்கணித கோவையின் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும். பொதுவான இயற்கணித முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தி கோவையை எளிதாக்கலாம். தொகுதி \((a+b)^2\) இன் விரிவாக்கத்தைப் போன்றது, மற்றும் பகுதி \((a^2 - b^2)\) இன் விரிவாக்கத்தைப் போன்றது.
சரியான விடை: D) 2.5
The value of 163 + 73 - 233 is
163 + 73 - 233 ன் மதிப்பு
The problem asks us to find the value of the expression \(16^3 + 7^3 - 23^3\). We can solve this by directly calculating the cubes and then performing the addition and subtraction. Alternatively, we can use an algebraic identity related to the sum of cubes, which can simplify the calculation.
A) -7728 is the correct answer, as calculated using the algebraic identity.
இந்தக் கணக்கில் \(16^3 + 7^3 - 23^3\) என்ற கோவையின் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும். இதை நேரடியாக ஒவ்வொரு எண்ணின் கன மதிப்பைக் கணக்கிட்டு பின்னர் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் செய்வதன் மூலம் தீர்க்கலாம். அல்லது, கனங்களின் கூட்டுத்தொகை தொடர்பான ஒரு இயற்கணித முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி கணக்கீட்டை எளிதாக்கலாம்.
A) -7728 என்பது சரியான விடை, இயற்கணித முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்பட்டது.
Find the next term of 4 in the series is 1, 1, 2, 8, 3, 27, 4, ...
1, 1, 2, 8, 3, 27, 4, ... என்ற தொடரின் 4-ற்கு அடுத்த உறுப்பு?
The given series is an alternating series formed by two distinct sub-series. We need to identify the pattern in each sub-series and then determine the next term based on the position in the sequence.
D) 64 is the correct answer because the series alternates between natural numbers and cubes of natural numbers, and the term after 4 is the 4th term in the cube sub-series, which is \(4^3 = 64\).
கொடுக்கப்பட்ட தொடர் இரண்டு தனித்தனி துணைத் தொடர்களால் உருவான ஒரு மாற்றுத் தொடர் ஆகும். ஒவ்வொரு துணைத் தொடரிலும் உள்ள வடிவத்தை நாம் அடையாளம் கண்டு, பின்னர் தொடரில் உள்ள நிலையின் அடிப்படையில் அடுத்த உறுப்பைக் கண்டறிய வேண்டும்.
D) 64 என்பது சரியான விடை, ஏனெனில் தொடர் இயல் எண்கள் மற்றும் இயல் எண்களின் கனங்களுக்கு இடையில் மாறி மாறி வருகிறது, மேலும் 4 க்குப் பிறகு வரும் உறுப்பு கன துணைத் தொடரில் 4வது உறுப்பாகும், இது \(4^3 = 64\).
Three angles of a triangle are x- 30°, x- 45°, x + 15°, find the value of x.
ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்கள் x - 30°, x - 45°, x + 15° எனில் x-ன் மதிப்பு
The problem provides the expressions for the three angles of a triangle in terms of a variable 'x'. We know that the sum of the interior angles of any triangle is always 180 degrees. We can set up an equation by summing the given angle expressions and equating them to 180 degrees. Then, we solve this linear equation for 'x'.
\( (x - 30^\circ) + (x - 45^\circ) + (x + 15^\circ) = 180^\circ \)
\( x + x + x - 30^\circ - 45^\circ + 15^\circ = 180^\circ \)
\( 3x - 75^\circ + 15^\circ = 180^\circ \)
\( 3x - 60^\circ = 180^\circ \)
\( 3x = 180^\circ + 60^\circ \)
\( 3x = 240^\circ \)
\( x = \frac{240^\circ}{3} \)
\( x = 80^\circ \)
First angle: \( x - 30^\circ = 80^\circ - 30^\circ = 50^\circ \)
Second angle: \( x - 45^\circ = 80^\circ - 45^\circ = 35^\circ \)
Third angle: \( x + 15^\circ = 80^\circ + 15^\circ = 95^\circ \)
Sum: \( 50^\circ + 35^\circ + 95^\circ = 180^\circ \). The sum is \( 180^\circ \), so the value of x is correct.
Correct Option: C) 80°
ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களுக்கான மதிப்புகள் 'x' என்ற மாறியின் அடிப்படையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று உட்கோணங்களின் கூடுதல் எப்போதும் 180 டிகிரி என்பதை நாம் அறிவோம். கொடுக்கப்பட்ட கோணங்களின் வெளிப்பாடுகளைக் கூட்டி, அதை 180 டிகிரிக்குச் சமன் செய்வதன் மூலம் ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்கலாம். பின்னர், 'x' இன் மதிப்பைக் கண்டறிய இந்த நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கலாம்.
\( (x - 30^\circ) + (x - 45^\circ) + (x + 15^\circ) = 180^\circ \)
\( x + x + x - 30^\circ - 45^\circ + 15^\circ = 180^\circ \)
\( 3x - 75^\circ + 15^\circ = 180^\circ \)
\( 3x - 60^\circ = 180^\circ \)
\( 3x = 180^\circ + 60^\circ \)
\( 3x = 240^\circ \)
\( x = \frac{240^\circ}{3} \)
\( x = 80^\circ \)
முதல் கோணம்: \( x - 30^\circ = 80^\circ - 30^\circ = 50^\circ \)
இரண்டாவது கோணம்: \( x - 45^\circ = 80^\circ - 45^\circ = 35^\circ \)
மூன்றாவது கோணம்: \( x + 15^\circ = 80^\circ + 15^\circ = 95^\circ \)
கூடுதல்: \( 50^\circ + 35^\circ + 95^\circ = 180^\circ \). கூடுதல் \( 180^\circ \) ஆக இருப்பதால், x இன் மதிப்பு சரியானது.
சரியான விடை: C) 80°
The difference between simple interest and compound interest for a sum of Rs. 12,000 lent at 10% per annum in 2 years, is
ரூ.12,000-க்கு 10% வட்டி வீதம் எனில் இரண்டு ஆண்டுகளில் கிடைக்கும் கூட்டு வட்டிக்கும் தனிவட்டிக்கும் உள்ள வித்தியாசம்
Rs. 80
ரூ. 80
Rs. 90
ரூ. 90
Rs. 120
ரூ. 120
Rs. 100
ரூ. 100
To find the difference between simple interest (SI) and compound interest (CI) for a given principal amount, rate, and time, we can calculate both SI and CI separately and then find their difference. Alternatively, for 2 years, there's a direct formula for the difference between CI and SI.
The formula for Simple Interest is:
\[ SI = \frac{P \times R \times T}{100} \]Substitute the given values:
\[ SI = \frac{12000 \times 10 \times 2}{100} = 120 \times 10 \times 2 = 2400 \]So, Simple Interest = Rs. 2,400.
The formula for Amount (\(A\)) under Compound Interest is:
\[ A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T \]Substitute the given values:
\[ A = 12000 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 \] \[ A = 12000 \left(1 + \frac{1}{10}\right)^2 \] \[ A = 12000 \left(\frac{11}{10}\right)^2 \] \[ A = 12000 \times \frac{121}{100} \] \[ A = 120 \times 121 = 14520 \]Compound Interest (\(CI\)) is \(A - P\):
\[ CI = 14520 - 12000 = 2520 \]So, Compound Interest = Rs. 2,520.
For 2 years, the difference between CI and SI can be directly calculated using the formula:
\[ \text{Difference} = P \left(\frac{R}{100}\right)^2 \]Substitute the given values:
\[ \text{Difference} = 12000 \left(\frac{10}{100}\right)^2 \] \[ \text{Difference} = 12000 \left(\frac{1}{10}\right)^2 \] \[ \text{Difference} = 12000 \times \frac{1}{100} \] \[ \text{Difference} = 120 \]Both methods yield the same result.
Correct Option: C) Rs. 120
ஒரு குறிப்பிட்ட அசல் தொகை, வட்டி விகிதம் மற்றும் காலத்திற்கு தனி வட்டிக்கும் (SI) கூட்டு வட்டிக்கும் (CI) உள்ள வித்தியாசத்தைக் கண்டறிய, நாம் SI மற்றும் CI இரண்டையும் தனித்தனியாகக் கணக்கிட்டு, பின்னர் அவற்றின் வித்தியாசத்தைக் கண்டறியலாம். மாற்றாக, 2 ஆண்டுகளுக்கு, CI மற்றும் SI இடையே உள்ள வித்தியாசத்திற்கு நேரடி சூத்திரம் உள்ளது.
தனி வட்டிக்கு சூத்திரம்:
\[ SI = \frac{P \times R \times T}{100} \]கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பிரதியிடவும்:
\[ SI = \frac{12000 \times 10 \times 2}{100} = 120 \times 10 \times 2 = 2400 \]எனவே, தனி வட்டி = ரூ. 2,400.
கூட்டு வட்டியின் கீழ் மொத்தத் தொகை (\(A\)) க்கான சூத்திரம்:
\[ A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T \]கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பிரதியிடவும்:
\[ A = 12000 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 \] \[ A = 12000 \left(1 + \frac{1}{10}\right)^2 \] \[ A = 12000 \left(\frac{11}{10}\right)^2 \] \[ A = 12000 \times \frac{121}{100} \] \[ A = 120 \times 121 = 14520 \]கூட்டு வட்டி (\(CI\)) என்பது \(A - P\):
\[ CI = 14520 - 12000 = 2520 \]எனவே, கூட்டு வட்டி = ரூ. 2,520.
2 ஆண்டுகளுக்கு, CI மற்றும் SI இடையே உள்ள வித்தியாசத்தை நேரடியாக சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:
\[ \text{வித்தியாசம்} = P \left(\frac{R}{100}\right)^2 \]கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பிரதியிடவும்:
\[ \text{வித்தியாசம்} = 12000 \left(\frac{10}{100}\right)^2 \] \[ \text{வித்தியாசம்} = 12000 \left(\frac{1}{10}\right)^2 \] \[ \text{வித்தியாசம்} = 12000 \times \frac{1}{100} \] \[ \text{வித்தியாசம்} = 120 \]இரண்டு முறைகளும் ஒரே முடிவைத் தருகின்றன.
சரியான விடை: C) ரூ. 120
If you stand in a rectangular room, where two adjacent walls are covered with plane mirrors, the total number of your images will be
ஒரு செவ்வக அறையில் சமதள ஆடிகள் பொருத்தப்பட்ட இரண்டு அடுத்தடுத்த சுவர்களுக்கு இடையே நீ நிற்கிறாய் எனில், உனது மொத்த பிம்பங்களின் எண்ணிக்கை எத்தனை?
This problem involves understanding image formation by plane mirrors, specifically when two mirrors are placed at an angle to each other. The number of images formed depends on the angle between the mirrors. For two plane mirrors inclined at an angle \(\theta\), the number of images \(n\) can be calculated using the formula \(n = \frac{360^\circ}{\theta} - 1\) if \(\frac{360^\circ}{\theta}\) is an even integer or if the object is placed symmetrically. If \(\frac{360^\circ}{\theta}\) is an odd integer and the object is placed asymmetrically, the number of images is \(n = \frac{360^\circ}{\theta}\). However, for a simplified case where the object is between two adjacent walls (implying a 90-degree angle), the formula \(n = \frac{360^\circ}{\theta} - 1\) is generally applicable.
Correct Option: C) 3
இந்தக் கேள்வி சமதள ஆடிகள் மூலம் பிம்பங்கள் உருவாவதைப் பற்றியது, குறிப்பாக இரண்டு ஆடிகள் ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தில் வைக்கப்படும்போது. இரண்டு சமதள ஆடிகள் ஒரு கோணத்தில் \(\theta\) வைக்கப்படும்போது உருவாகும் பிம்பங்களின் எண்ணிக்கை \(n\) என்பது \(n = \frac{360^\circ}{\theta} - 1\) என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது, இங்கு \(\frac{360^\circ}{\theta}\) ஒரு இரட்டை முழு எண் அல்லது பொருள் சமச்சீராக வைக்கப்பட்டிருந்தால். \(\frac{360^\circ}{\theta}\) ஒரு ஒற்றை முழு எண் மற்றும் பொருள் சமச்சீரற்ற முறையில் வைக்கப்பட்டிருந்தால், பிம்பங்களின் எண்ணிக்கை \(n = \frac{360^\circ}{\theta}\). இருப்பினும், அடுத்தடுத்த சுவர்களுக்கு இடையே உள்ள பொருள் (\(90^\circ\) கோணம்) என்ற எளிய சந்தர்ப்பத்தில், \(n = \frac{360^\circ}{\theta} - 1\) என்ற சூத்திரம் பொதுவாகப் பொருந்தும்.
சரியான விடை: C) 3